時滯不確定系統的支持向量機滑?？刂?/h1>
2012-08-01 02:10:52陳志梅張井崗
太原科技大學學報 2012年2期 關鍵詞：系統
趙 倩，陳志梅，張井崗
(太原科技大學電子信息工程學院，太原030024)
在實際控制系統中普遍存在著時滯現象，而時滯的存在使得系統的控制品質變差，甚至會導致系統的不穩定，因此對時滯系統的控制成了控制領域的研究熱點?，F在處理時滯系統的方法主要有基于Riccati方程設計魯棒控制器的方法、Smith預估策略、輸出跟蹤控制方法、LQR/LTR算法等[1-4]。變結構控制由于它的突出優點即滑動模態對系統內部參數變化及外界擾動具有不敏感性，為不確定性系統、非線性、時滯、時變及干擾源多的一類系統的魯棒性設計提供了一種有效途徑[5]。然而，其固有的抖振現象以及由于系統參數變化、外部干擾以及未建模動態等因素的影響，使得其要求的條件往往難以滿足，限制了滑?？刂频膽?，因此與其它的理論與方法相結合成為滑?？刂蒲芯康囊淮蟀l展趨勢[6-7]。
神經網絡作為一種通用函數逼近器，可以以任意精度近似任意非線性函數和動態系統，在針對不確定系統時，一般采用神經網絡對不確定性上界進行自適應學習[8]。然而，神經網絡仍有一些不易解決的難題，如難以確定神經網絡的隱層節點數、存在過學習現象、訓練過程中存在局部極小問題等。為了解決這些問題，Vapnik提出支持向量機(Support Vector Machine，SVM)即一種依據統計學習理論和結構風險最小化原理的新型學習機[9]。與神經網絡相比，它的優點是訓練算法中不存在局部極小問題，可以自動設計模型復雜度(例如隱層節點數)，不存在維數災問題，泛化能力強，已在模式識別、信號處理、函數逼近等領域得到了應用[10]。
本文針對具有不確定參數和狀態時滯的系統，基于LMI方法設計滑?？刂破鳎胫С窒蛄繖C對不確定量在線逼近，通過學習獲得其上界值，保證了系統的穩定性和強魯棒性，有效地降低滑模控制固有的抖振現象，改善了系統的控制性能。
1 系統描述
考慮如下帶有不確定性參數的時滯系統:
其中，x∈Rn為狀態輸入，u(t)∈Rm為控制輸入，ξ(x，t)為系統所受的外部干擾，φ(t)∈Rn為連續的初值函數，而A、Ad和B為已知的具有合適維數的常值矩陣，常值時滯τ≥0，△A、△Ad和△B為系統的不確定性。對于系統式(1)作如下假設:
(i)假設系統的不確定性和外部干擾滿足標準匹配條件，即存在有界矩陣和滿足和
(ii)矩陣對(A+Ad，B)是可控的。
根據以上假設，系統式(1)可以描述成:
其中δ(x，t)為系統總的不確定性
2 滑?？刂破髟O計
引入如下的變換將系統式(2)轉換為標準形式z=Tx，其中，T滿足條件:
則可得:
定義滑模函數
則:若存在正定對稱矩陣Q∈R(n－m)×(n－m)、矩陣Y∈Rm×(n－m)和正實數^τ滿足如下線性不等式(*是矩陣的對稱塊的轉置):
那么選擇待定參數矩陣為C和C=YQ－1，則對所有滿足0≤τ≤^τ的常值時滯τ，系統的滑動模態式(6)是漸進穩定的[11]。
對時滯系統式(4)，其滑模面由式(5)定義，則在控制律
作用下，系統軌跡將在有限時間內到達滑模面并沿著滑模面運動。其中，η△＞0是標量，用于調整滑模面的趨近速度，ψ(x，t)為δ(x，t)的上界值[11]。
3 支持向量機學習不確定部分
式(8)中不確定性δ(x，t)的上界值ψ(x，t)假定已知，但在實際情況中，對于系統的不確定部分很難測量或者根本無法測量，因此控制律無法求取。本文引入支持向量機對未知的不確定部分進行自適應學習，利用支持向量機模型的輸出代替不確定性。在具體對不確定部分進行學習時，首先利用輸入變量和輸出變量的樣本對支持向量機進行訓練，然后利用訓練好的模型對輸出變量進行估計。最后在非線性系統模型中，輸入變量與輸出變量之間的非線性函數關系由支持向量機的輸出來實現[12]。具體的學習過程為:
設樣本為n維向量，某區域的l個樣本及其值表示(x1，y1)，…，(xl，yl)∈Rn×R，首先用一非線性映射ψ(·)把樣本空間Rn從原空間映射到特征空間ψ(x)=(φ(x1)，φ(x2)，…，φ(xl)).在這個高維特征空間中構造最優決策函數y(x)=ω·φ(x)+b，這樣非線性估計函數轉換為高維特征空間中的線性估計函數。利用結構風險最小化原則，尋找ω，b，就是最小化，其中‖ω‖2是控制模型的復雜度，c是正規化參數，Remp為誤差控制函數，即ε不敏感損失函數。
支持向量機估計算法的優化問題為:
建立Lagrange函數:
根據優化條件:
根據 Mercer’s條件，定義核k(xi，xj)=φ(xi)·φ(xj).則優化問題轉化為:
選取核函數為徑向基核函數:k(xi，xj)=exp(－‖xi－yj‖2/2σ2)。參數b用KKT條件可以求出:
則支持向量機的輸出為:
4 仿真研究
圖1 滑模函數曲線Fig.1 Sliding mode function curve
圖2 上界值假定已知的滑模控制器輸出曲線Fig.2 SMC output curve based on assumed upper bound
圖3 利用支持向量機學習的上界變化曲線Fig.3 Upper bound learned curve based on SVM
圖1、圖2為假定上界值為0.8時，滑模函數以及滑?？刂破鬏敵銮€;圖3為利用支持向量機學習未知不確定部分上界值的變化情況;圖4為采用基于SVM的滑?？刂破鬏敵銮€;圖5和圖6為系統狀態響應曲線。
圖4 基于SVM的滑?？刂破鬏敵銮€Fig.4 SMC output curve based on SVM
圖5 x1狀態響應曲線Fig.5 State response curve of x1
圖6 x2狀態響應曲線Fig.6 State response curve of x2
從仿真結果可以看出，系統狀態在有限的時間內能夠達到滑模面，采用基于SVM的滑模控制不僅能夠獲得不確定部分的上界值，同時有效地抑制了抖振，保證系統狀態的漸近穩定性和魯棒性。
5 結論
本文針對一類具有狀態時滯的不確定系統，應用滑?？刂评碚?，基于LMI方法設計了控制器，利用支持向量機自學習不確定部分未知上界。該方案克服了滑?？刂菩枰阎到y不確定性上界的限制，同時保證了系統的漸近穩定性和魯棒性，有效地削弱了抖振，提高了系統的性能。
[1]EL-KHEZALI R，AHMAD W H.Variable structure control of fractional time-delay systems[C]//2nd IFAC，Workshop on fractional differentiation and applications，Porto，Portugal，2006.
[2]AMAR SI-AMMOUR，SAID DJENNOUNE.A sliding mode control for linear fractional systems with input and state delays[C]//Maamar Bettayeb Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2009，14:2310-2318.
[3]張靜梅，賈新春.不確定時變時滯線性系統的魯棒采樣控制[J].太原科技大學學報，2009，30(4):302-308.
[4]HE Y，LIU G P，REES D，M.W.H∞filtering for discrete-time systems with time-varying delay[J].Signal Processing，2009，89(3):275-282.
[5]EFE M O，UNSAL C，KAYNAK O，et al.Variable structure control of a class of uncertain systems[J].Automatica，2004，40:59-64.
[6]范志勇，張井崗.“倒三角”系統的神經滑?？刂芠J].太原科技大學學報，2010，31(4):271-274.
[7]WINSTON GARCIA-GABIN，DARINE ZAMBRANO，EDUARDO F.Camacho.Sliding mode predictive control of a solar air-conditioning plant[J].Control Engineering Practice，2009，17:652-663.
[8]高宏宇，邵克勇，李艷輝.不確定系統的上界自適應動態神經滑?？刂芠J].吉林大學學報:自然科學版，2010，28(3):292-297.
[9]VAPNIK V N.Statistical learning theory[M].New York:John Wiley and Sons Inc，1998
[10]ZHONG W M，PI D Y，SUN Y X.An Approach of Nonlinear Model Multi-step-ahead Predictive Control Based on SVM[J].Lecture Notes in Computer Science，2005，35(16):1036-1039.
[11]蘇宏業，褚健，魯仁全，等.不確定時滯系統的魯棒控制理論[M].北京:科學出版社，2007.
[12]張明光，閻威武，李戰明.基于支持向量機的非線性系統辨識研究[J].計算機應用研究，2006(5):47-48.
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圖4 基于SVM的滑?？刂破鬏敵銮€Fig.4 SMC output curve based on SVM
圖5 x1狀態響應曲線Fig.5 State response curve of x1
圖6 x2狀態響應曲線Fig.6 State response curve of x2
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