熱彈耦合偏微分方程的解

程永玲

(山西大學商務學院理學系，太原030031)

即證

將文獻[1]的方程進行推廣，并在文獻[2-5]的基礎上研究了熱彈耦合梁方程組:

在初始條件:

非線性邊界條件:

(其中a，η，m，k，d，b，β為正常數，w≥1，δ≥0)下強解的存在性。

對非線性項N1(u，θ)，N2(u，θ)作了如下假設:

1 預備知識

定義 設Ω=(0，1)，Q=Ω×(0，T)，

定義空間S2=H10(0，1)∩H2(0，1)，則上述空間為 Hilbert空間，且S2?L2(0，1).

引理[6]設X，Y為Hilbert空間或可分的Banach空間，其對偶空間為X'，Y'，設Y連續且稠密地嵌入到X中，若uμ→u在L∞(0，T;X')中弱* 收斂;且˙uμ→χ在L∞(0，T;Y')中弱*收斂;則χ=˙u在L∞(0，T;Y')中成立。

2 主要結論

定理 假設f，g∈L2(0，1)，N1(u，θ)、N2(u，θ)滿足式(6)和式(7)，(u0，u1，θ0)∈S2×L2(0，1)×L2(0，1)，則對任給的T＞0，方程組(1)、(2)在非線性邊界條件(3)、(4)和(5)下存在解(u，θ)，滿足:

且u∈L∞(0，T;H2(0，1))，

∈L∞(0，T;L2(0，1))，

θ∈L∞(0，T;L2(0，1))∩L2(0，T;H1(0，1)).

2.1 證明有界性

由式(1)與˙um作內積加上式(2)與θm作內積，有:

則有:

由 S chwarz不等式[6]和式(6)、式(7)可得:

其中C是正常數，由Gronwall不等式[6]可得:

因為:

即E(0;um，θm)有界。

所以

2.2 證明收斂性

因為可分賦范線性空間的一致有界線性泛函序列中必可取出一個弱*收斂的子序列，故可選取{um}的子序列{uμ}，和{θm}的子序列{θμ}，使得弱*收斂。

在引理中取X=S'2，Y=L2(0，1)，則X'=S2，Y'=L2(0，1)=Y.

因為X'?Y'=Y?X，S2連續稠密地嵌入到L2(0，1)中，則Y連續稠密地嵌入到X中，因此

uμ→u在L∞(0，T;S2)中弱* 收斂;

→˙u在L∞(0，T;L2(0，1))中弱*收斂;

θμ→θ在L∞(0，T;L2(0，1))中弱 * 收斂;

θμ(1，t)→θ(1，t)在L2(0，T)中弱收斂;

(uμ(1，t)-α)+→ (u(1，t)-α)+在L2(0，T)中弱收斂;

uμ→u在L2(Q)中強收斂且幾乎處處收斂。

下證

在L2(0，T)中弱收斂。

由式(8)有:

即證

因為uμ→u在L∞(0，T;S2)中弱* 收斂，所以當μ→∞ 時，有:

由式(6)及{um}在L∞(0，T;S2)中有界知，N11(uμ)在L∞(0，T;L2(0，1))中弱 * 收斂。

下證N11(uμ)在L∞(0，T;L2(0，1))中弱 * 收斂于N11(u)，因為0≤N'11(u)≤M1，由式(9)知:

其中ξ1介于uμ與u之間，故得:N11(uμ)→N11(u)在L∞(0，T;L2(0，1))中弱 * 收斂。

同理可證N12(θμ)→N12(θ)在L∞(0，T;L2(0，1))中弱*收斂。

N21(uμ)→N21(u)在L∞(0，T;L2(0，1))中弱*收斂。

關于N22，則可用文獻[7]中的單調性方法及Fatou 引理[6]證明N22(θμ)→N22(θ)在L∞(0，T;L2(0，1))中弱* 收斂。

2.3 取極限

兩邊取極限即可得到(u，θ)滿足

定理證畢。

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[3]程永玲，張建文.非線性熱彈耦合梁整體強解的存在性[J].太原理工大學學報，2007，38:301-302.

[4]郭利軍，王銀珠.乘子法在一類波動方程精確能控性中的應用[J].太原科技大學學報，2008，29(3):24-25.

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