基于三角面元剖分的全波信號(hào)完整性建模方法

孔 繁 王 昊 盛衛(wèi)星 武 景

（南京理工大學(xué)電子工程與光電技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京210094）

其中：fm是第m個(gè)部分元對(duì)應(yīng)的測(cè)試函數(shù)，內(nèi)積函數(shù)定義為

引 言

隨著集成電路的快速發(fā)展、高速接口的普遍應(yīng)用，高速印制板（PCB板）上的信號(hào)完整性（SI）問(wèn)題越來(lái)越突出［1－3］。臨近的PCB板走線之間、元件之間電磁耦合的影響變得不能被忽略。寄生電感和電容，信號(hào)延遲和不連續(xù)點(diǎn)的反射都會(huì)破壞信號(hào)質(zhì)量。簡(jiǎn)單的電路理論分析信號(hào)完整性問(wèn)題在GHz信號(hào)甚至更高頻率信號(hào)面前顯得力不從心。電磁場(chǎng)分析方法被越來(lái)越多地應(yīng)用到SI分析中，如時(shí)域有限差分法（FDTD），有限元法（FEM），矩量法（MOM）等等，其中部分元等效電路（PEEC）方法因其能將電磁場(chǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等效的電阻、電容、電感的電路問(wèn)題而越來(lái)越受歡迎。最早出現(xiàn)的PEEC方法［4］可以對(duì)多導(dǎo)體的電磁互耦問(wèn)題進(jìn)行建模。通常使用四邊形的PEEC單元對(duì)導(dǎo)體進(jìn)行剖分。因此，對(duì)于復(fù)雜幾何形狀導(dǎo)體，要得到精細(xì)的剖分，并考慮到電磁場(chǎng)的傳播特性，對(duì)電場(chǎng)積分方程的離散而產(chǎn)生的密集矩陣規(guī)模是相當(dāng)巨大的。同時(shí)得到的電路模型的規(guī)模隨著分析問(wèn)題的復(fù)雜度增加也將是異常龐大的，因而就出現(xiàn)了對(duì)PEEC的模型簡(jiǎn)化。對(duì)PEEC的簡(jiǎn)化前人做了不少工作。采用快速多極子的方法［5－6］，可以從格林函數(shù)計(jì)算的角度對(duì)PEEC方法的計(jì)算量進(jìn)行縮減。通過(guò)模型降階技術(shù)（MOR）［7－9］技術(shù)對(duì)PEEC得到的模型進(jìn)行簡(jiǎn)化。一種新型基于物理概念的模型降階技術(shù)（PMOR）［10］，用于分析一個(gè)參數(shù)化過(guò)程中所產(chǎn)生的部分元等效電路矩陣，該技術(shù)保證了整體穩(wěn)定性，是一種被動(dòng)的降階模型參數(shù)化方法。一種加入了磁體的磁化電流、導(dǎo)體的傳導(dǎo)電流和介質(zhì)的極化電流的擴(kuò)展等效電路模型［11］也已經(jīng)出現(xiàn)。經(jīng)典的PEEC方法依賴于對(duì)目標(biāo)結(jié)構(gòu)進(jìn)行縱向剖分。對(duì)于非標(biāo)準(zhǔn)矩形的結(jié)構(gòu)要通過(guò)使用非標(biāo)準(zhǔn)矩形的共面四邊形的PEEC剖分方法［12］來(lái)計(jì)算。分析對(duì)象形狀不規(guī)則例如不平行走線就需要一種分析不平行走線的PEEC計(jì)算方法［13］，而且使用的是準(zhǔn)靜的解析解結(jié)果計(jì)算分布參數(shù)。將矢量面電流RWG（Rao－Wilton－Glisson）基函數(shù)用于 PEEC 問(wèn)題［14］，使用自由空間格林函數(shù)，分析兩根平行走線的自由空間情況下的S參數(shù)計(jì)算。但是，該方法使用簡(jiǎn)單的解析解只適合求解自由空間問(wèn)題，而準(zhǔn)靜格林函數(shù)也只能在低頻段適用，隨著頻率的升高，準(zhǔn)靜的格林函數(shù)將出現(xiàn)不準(zhǔn)確的結(jié)果。使用DCIPEEC方法［15］，將離散復(fù)鏡像（DCIM）引入到PEEC模型的建立，仿真的微帶結(jié)構(gòu)的S參數(shù)，但該方法使用簡(jiǎn)單的矩形脈沖基，分析規(guī)則的矩形結(jié)構(gòu)可以適用，如果遇到非直角走線等結(jié)構(gòu)則不能進(jìn)行有效的剖分。而且，以上文獻(xiàn)都停留在S參數(shù)的仿真計(jì)算，沒(méi)有從高速數(shù)字信號(hào)傳輸眼圖的角度對(duì)信號(hào)完整性進(jìn)行優(yōu)化或驗(yàn)證。

針對(duì)任意形狀PCB走線的信號(hào)完整性（SI）分析問(wèn)題，采用RWG基函數(shù)和三角形PEEC單元對(duì)PCB走線進(jìn)行有效剖分，推導(dǎo)了電路模型及其計(jì)算公式，并采用了DCIM來(lái)計(jì)算格林函數(shù)，提高了PEEC模型的精確度。還采用該 RWG－DCIMPEEC對(duì)微帶螺旋電感和帶不同形式拐角的高速PCB差分對(duì)線進(jìn)行了仿真計(jì)算，根據(jù)所提取的電路模型參數(shù)、芯片制造商提供的集成電路的SPICE模型或者IBIS模型，利用HSPICE工具軟件仿真了高速數(shù)字信號(hào)傳輸時(shí)的眼圖，并從眼圖和傳輸誤碼率的角度對(duì)高速PCB差分對(duì)線的拐角參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。最后給出了實(shí)際測(cè)量的PCB板走線和S參數(shù)采用RWG－DCIM－PEEC的計(jì)算結(jié)果，驗(yàn)證了RWG－DCIM－PEEC方法的正確性。

1.理論分析

RWG基函數(shù)最先是由Rao，Wilton和Glisson提出來(lái)的［16］。三角形剖分方法在對(duì)復(fù)雜形狀導(dǎo)體進(jìn)行剖分時(shí)的表現(xiàn)要比矩形更好。RWG基函數(shù)是一種定義在剖分后第n條公共邊上的矢量基函數(shù)，其定義如下：

其散度為：式中：ln是第n條公共邊的邊長(zhǎng)；是三角形的面積；和分別是三角形面、自由頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的矢量，稱為自由矢量。第n條邊上參考電流的正方向定義為從流向.r代表坐標(biāo)系原點(diǎn)到計(jì)算源點(diǎn)或場(chǎng)點(diǎn)的位置向量。圖1示意了經(jīng)剖分后與第n條公共邊相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)三角形對(duì)和及其參數(shù)。

圖1 經(jīng)三角形剖分后與第n條公共邊相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)三角形對(duì)及其參數(shù)的示意圖

離散后第n條公共邊稱為PEEC的一個(gè)單元（也叫部分元）。設(shè)經(jīng)過(guò)剖分后，共有N個(gè)部分元。則被剖分的導(dǎo)體面上的面電流密度可以近似地表示為各個(gè)部分元電流密度與其矢量基函數(shù)乘積的和，即

其中，電流系數(shù)Jn表示流過(guò)第n條公共邊的電流密度。在沒(méi)有外加激勵(lì)時(shí)，環(huán)路的電壓為零，即滿足

式中：A為矢量磁位；Φ為標(biāo)量電位；σ為電導(dǎo)率。公式（4）中第1至第3項(xiàng)分別代表等效電阻、電感和電容引起的電壓降。對(duì)公式（4）的各項(xiàng)以部分元為單位分別用RWG基函數(shù)形式的測(cè)試函數(shù)在頻域做內(nèi)積處理，得到

其中：fm是第m個(gè)部分元對(duì)應(yīng)的測(cè)試函數(shù)，內(nèi)積函數(shù)定義為

式中，積分區(qū)域S為與第m個(gè)部分元相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)三角形對(duì)所在的區(qū)域。具體到兩個(gè)剖分單元的等效電路形式如圖2所示。

圖2 兩個(gè)RWG剖分單元的等效電路

單元S1包含兩個(gè)三角面元A1和A2，A1和A2的公共邊l1作為離散的電流支路I1；單元S2包含兩個(gè)三角面元A2和A3，相應(yīng)的公共邊l2對(duì)應(yīng)于電流支路I2.三個(gè)面元A1、A2、A3對(duì)應(yīng)于三個(gè)節(jié)點(diǎn)電位Ф1、Ф2、Ф3.

經(jīng)推導(dǎo)，公式（5）第2項(xiàng)中當(dāng)用f1作為測(cè)試函數(shù)時(shí)電感的表達(dá)式可以寫(xiě)為

式中：l1和l2是公共邊的邊長(zhǎng)；G（r，r′）是格林函數(shù)，ω是角頻率；電感L1，1定義為自感；L1，n為互感。公式（7）中互感帶來(lái)的電壓降可以用電流控制電壓源（CCVS）的形式來(lái)表示。

公式（5）第3項(xiàng)以f1做為測(cè)試函數(shù)，可以推導(dǎo)出節(jié)點(diǎn)電位方程。公式（8）中的pmn（m＝1，2；n＝1，2，3）是電位系數(shù)。p11是自電位系數(shù)，p12、p13是互電位系數(shù)，互電位系數(shù)帶來(lái)的電壓降可以等效成電流控制電壓源（CCVS的形式，其控制電流是節(jié)點(diǎn)到地之間定義的電流由支路電流I1，2決定。J1和J2是定義在相應(yīng)的公共邊上的電流密度。－Φ1＋Φ2表示兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的電壓降。

公式（5）的第1項(xiàng)為PEEC單元等效電阻（又叫部分電阻）產(chǎn)生的壓降。部分電阻的定義如下

在計(jì)算無(wú)限薄導(dǎo)體時(shí)可以當(dāng)作是理想導(dǎo)體處理，即電阻項(xiàng)可以忽略不計(jì)。在實(shí)際的計(jì)算中均假設(shè)為理想導(dǎo)體情況忽略電阻項(xiàng)的計(jì)算，因此，在圖2中我們也省略了電阻項(xiàng)。

上式中的格林函數(shù)采用DCIM方法［17］求取，如圖3所示的微帶結(jié)構(gòu)。

圖3 微帶結(jié)構(gòu)示意圖

如圖3所示微帶結(jié)構(gòu)位于xoy平面，介質(zhì)介電常數(shù)是εr，厚度為h，微帶上的感應(yīng)電流可以通過(guò)上述方法求解混合位積分方程得到，其中的標(biāo)量位和矢量位可以分別表示成

GA包含四個(gè)分量，然后在圖示平面結(jié)構(gòu)中，未知電流值有xx和yy分量，這兩個(gè)分量可以用Ga和Gq分別表示格林函數(shù)中的磁場(chǎng)矢量位和電場(chǎng)標(biāo)量位。因此，空域格林函數(shù)可以從相應(yīng)的譜域格林函數(shù)通過(guò)漢克爾變換得到

離散復(fù)鏡像方法先從譜域格林函數(shù)中抽取準(zhǔn)動(dòng)和表面波項(xiàng)，再將剩余的部分通過(guò)矩陣束方法擬合成指數(shù)閉式表達(dá)形式。式中的Ga和Gq可以表示成下面的形式。第1部分是準(zhǔn)動(dòng)鏡像部分，主要是在進(jìn)場(chǎng)起作用，如下式所示。

第2部分是漏波的表達(dá)式，在中場(chǎng)區(qū)起作用。

第3部分是表面波部分，主要是在遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)起作用。

2.實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

通過(guò)4個(gè)例子來(lái)驗(yàn)證RWG－DCIM－PEEC方法的正確性，并對(duì)其性能進(jìn)行評(píng)估。例子1是一個(gè)微帶螺旋電感器模型（見(jiàn)圖4（a）左側(cè)）。其線寬和線間距均為1mm，介質(zhì)板厚度為0.15mm，介電常數(shù)為4.3.圖4（a）的右側(cè)部分是該螺旋電感器經(jīng)三角形剖分后的結(jié)果。圖4（b）顯示了分別采用RWGDCIM－PEEC方法、基于矩量法（MoM）的IE3D軟件和準(zhǔn)靜的PEEC方法計(jì)算得到的該螺旋電感S參數(shù)幅度和相位。

從圖4（b）的結(jié)果可以看到：RWG－DCIM－PEEC方法和IE3D計(jì)算的結(jié)果能夠很好地吻合。表明RWG－DCIM－PEEC本質(zhì)上是與矩量法相近的精確的全波分析方法。而準(zhǔn)靜的PEEC方法的計(jì)算結(jié)果則與RWG－DCIM－PEEC方法和IE3D的有誤差。

例子2是一個(gè)PCB板上的不平行走線模型（見(jiàn)圖5（a））。兩根微帶走線線寬均為1mm，夾角為30°，介質(zhì)板厚度為0.15mm，介電常數(shù)為4.3.圖5（b）顯示了分別采用RWG－DCIM－PEEC方法和基于矩量法（MoM）的IE3D軟件計(jì)算得到的這兩根不平行走線的S參數(shù)幅度和相位。

不平行走線模型對(duì)于矩形剖分的傳統(tǒng)PEEC方法需要做特殊處理，也就是要區(qū)別處理不平行單元與平行結(jié)構(gòu)單元，相當(dāng)于增加了程序的復(fù)雜度。而使用RWG基的RWG－DCIM－PEEC方法不需要特別處理不平行單元，由于RWG基的矢量基特性，程序中不用專門(mén)區(qū)分不平行結(jié)構(gòu)，簡(jiǎn)化了算法。圖5（b）中IE3D計(jì)算結(jié)果和 RWG－DCIM－PEEC方法計(jì)算結(jié)果一致，這也驗(yàn)證了RWG－DCIM－PEEC方法對(duì)不平線結(jié)構(gòu)的分析計(jì)算的有效性。

例子3是帶拐角的PCB走線。拐角是PCB走線中常遇到的結(jié)構(gòu)，通常情況下采用45度拐角，圖6（a）中給出了4種不同形式的45度拐角PCB走線模型。線形1中拐角處的線寬窄于走線線寬，線形2為近似圓弧拐角的形式，線形3中拐角處線寬與走線線寬相同，線形4中拐角處線寬不等于走線線寬但采取切角連接的形式。用RWG－DCIM－PEEC方法計(jì)算這四種不同線形的電路模型，得到節(jié)點(diǎn)單元電壓和支路電流參數(shù)，根據(jù)這些參數(shù)可以很方便地得到輸入阻抗等電路參數(shù)。利用RWG－DCIMPEEC方法對(duì)4種不同形式的45°拐角PCB走線進(jìn)行分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)，使得其S21參數(shù)盡可能接近端接阻抗相應(yīng)的S21參數(shù)（設(shè)定端接阻抗為50Ω）?？紤]現(xiàn)階段在PCB上的互連高速信號(hào)線所傳輸?shù)氖菙?shù)字信號(hào)速率在2～3.125Gbps，所以在2～3GHz的頻帶內(nèi)傳輸線的傳輸特性最優(yōu)是我們追求的目標(biāo)。利用RWG－DCIM－PEEC方法計(jì)算得到的阻抗見(jiàn)圖6（b）。由圖6（b）中可以看出：在設(shè)計(jì)頻段內(nèi)經(jīng)過(guò)參數(shù)優(yōu)化的線形1的阻抗始終高于其他類型走線，由此設(shè)計(jì)出的走線傳輸特性也好于其他類型。圖6（c）是使用RWG－DCIM－PEEC方法計(jì)算得到的S21參數(shù)，與上面的阻抗相對(duì)應(yīng)，線形1的S21參數(shù)在設(shè)計(jì)頻段內(nèi)好于其他形式。

眼圖仿真采用速率為2Gbps的二進(jìn)制數(shù)字信號(hào)，由圖7的仿真結(jié)果中可以看出：最差情況線形4眼圖漲開(kāi)幅度由1v下降到600mv，經(jīng)過(guò)優(yōu)化的線形1在眼圖的中間采樣時(shí)刻有800mv，而且眼圖邊沿更清晰，說(shuō)明信道質(zhì)量?jī)?yōu)于其他情況。

最后給出的是PCB走線實(shí)驗(yàn)板的實(shí)測(cè)S參數(shù)數(shù)據(jù)與仿真數(shù)據(jù)的對(duì)比。實(shí)際的PCB走線如圖8中（a）所示，采用微帶走線形式。測(cè)量?jī)x器采用安捷倫公司的86100C寬帶示波器，測(cè)量結(jié)果可以使用標(biāo)準(zhǔn)的S參數(shù).s2p文件導(dǎo)出，方便與仿真結(jié)果對(duì)比。

從對(duì)比結(jié)果中可以看出：仿真結(jié)果的S11和S21參數(shù)與實(shí)際測(cè)試的結(jié)果吻合非常好，驗(yàn)證了方法的正確性。

3.結(jié) 論

理論分析表明RWG－DCIM－PEEC方法是一種有效的建立SI模型的方法。RWG基應(yīng)用于PEEC方法可以使得電流走向的定義更精確。實(shí)驗(yàn)和仿真結(jié)果驗(yàn)證了DCIM應(yīng)用于PEEC之后與準(zhǔn)靜方法比較提高了高頻條件下的準(zhǔn)確性。RWG－DCIMPEEC方法得到的模型與HSPICE可以很好地兼容使用。但是，使用了DCIM的全波模型后，計(jì)算量也有所增加，今后我們會(huì)在這方面做更多的研究。

［1］劉學(xué)觀，江盼盼，郭輝萍，等.高速數(shù)字信號(hào)在PCB中的傳輸特性分析［J］.電波科學(xué)學(xué)報(bào)，2009，24（3）：498－517.LIU Xueguan，JIANG Panpan，GUO Huiping，et al.Transmission characteristics of high－speed digital signal in PCB［J］.Chinese Journal of Radio Science，2009，24（3）：498－517.（in Chinese）

［2］袁智勇，何金良，陳水明.印刷電路板差分線邊緣布置的電磁兼容分析［J］.電波科學(xué)學(xué)報(bào)，2004，19（6）：691－693.YUAN Zhiyong， HE Jinliang，CHEN Shuiming.EMC analysis for the edge placement of differential lines on the printed circuit board［J］.Chinese Journal of Radio Science，2004，19（6）：691－693.（in Chinese）

［3］陳建華，牛中奇.保護(hù)帶對(duì)不同參數(shù)微帶線信號(hào)和噪聲的影響［J］.電波科學(xué)學(xué)報(bào)，2010，25（1）：53－58.CHEN Jianhua，NIU Zhongqi.Effect of guard trace on signal integrity and coupling noise of microstrips with different parameters［J］.Chinese Journal of Radio Science，2010，25（1）：53－58.（in Chinese）

［4］RUEHLI A E.Equivalent circuit models for three dimensional multi conductor systems［J］.IEEE Trans Microwave Theory Tech，1974，22（3）：216－221.

［5］ANTONINI G.Fast multipole method for time domain PEEC analysis［J］.IEEE Trans Mobile Compute，2003，2（4）：275－287.

［6］ANTONINI G，RUEHLI A E.Fast multipole and multifunction PEEC methods［J］.IEEE Trans Mobile Compute，2003，2（4）：288－298.

［7］SLONE R D，SMITH W T，BAI Z.Using partial element equivalent circuit full wave analysis and Pade via Lanczos to numerically simulate EMC problems［C］//International Symposium on Electromagnetic Compatibility，August 1997：608－613.

［8］KNOCKAERT L，DE ZUTTER D.Laguerre－SVD reduced order modeling［J］.IEEE Trans Microw Theory Tech，2000，48（9）：1469－1475.

［9］ODABASIOGLU A，CELIK M，PILEGGI L T.PRIMA：Passive reducedorder interconnect macromodeling algorithm［J］.IEEE Trans Comput－aided Design Integr Circuits Syst，1998，17（8）：645－654.

［10］FERRANTI F，ANTONINI G，DHAENE T，et al.Physics－based passivity－preserving parameterized model order reduction for PEEC circuit analysis［J］.IEEE Trans on Copmponents Packaging and Manufacturing Technology，2011，1（3）：399－409.

［11］ZHANG Xiao，CHEN Wenhua，F(xiàn)ENG Zhenghe.Novel SPICE compatible partial－element equivalent－circuit model for 3－D structures［J］.IEEE Trans Microw Theory Tech，2009，57（11）：2808－2815.

［12］ANTONINI G，ORLANDI A，RUEHLI A E.Analytical integration of quasi－static potential integrals on nonorthogonal coplanar quadrilaterals for the PEEC method［J］.IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility，2002，44（2）：399－403.

［13］CRACRAFT M A，DREWNIAK J L.Analysis of distributed coupling along nonparallel traces using PEEC with phase term expansions［C］//IEEE International Symposium on Electromagnetic Compatibility，2008：1－6.

［14］WANG Y，JANDHYALA V，SHI C J R.Coupled electromagnetic－circuit simulation of arbitrarilyshaped conducting structures［C］//Electrical Performance of Electronic Packaging.Cambridge，2001：233－236.

［15］ZONG Z Y，WU W，F(xiàn)ANG D G.Ultra－wideband EM modeling using DCI－PEEC method［C］//Proceedings of 2010IEEE International Conference on Ultra－Wideband，2010：1－4.

［16］RAO S M，WILTON D R.Electromagnetic scattering by surfaces of arbitrary shape［J］.IEEE Transctions on Antennas and Propagation，1982，30（3）：409－418.

［17］YANG J J，CHOW Y L，F(xiàn)ANG D G.Discrete complex images of a three－dimensional dipole above and within a lossy ground［J］.IEE Proceedings H：Microwaves，Antennas and Propagation，1991，138（4）：319－326.