以問題探究激活思維——例談數學變式教學

☉江蘇省灌云縣圖河中學 吳 迪

以問題探究激活思維
——例談數學變式教學

☉江蘇省灌云縣圖河中學 吳 迪

變式教學是對數學中的問題進行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的探究，以暴露問題的本質特征，揭示不同知識點間的內在聯系的一種教學設計方法．通過變式教學，能喚起學生的好奇心和求知欲，因而能產生主動參與的動力，保持其參與教學過程的興趣和熱情．若能重視對課本習題進行變式訓練，不但可以抓好雙基，便于搞清問題的內涵和外延，而且還可以提高數學能力．

一堂數學課，就應是一串變式題組成的數學課堂，變式教學，恰能返璞歸真，順應學生的年齡特點和認知規律，讓學生在探究嘗試中獲取知識，優化數學思維品質．從而能大大提高課堂教學的有效性.

一、條件由特殊到一般，加深解法印象

對課本的一些結論，可以采取先猜想后證明，既教猜想又教證明的原則，將它們從有限推廣到無窮，從平面拓展到空間，這樣非常有利于學生創新思維的形成．

例如：在講多邊形的內角和定理時，可以先回顧三角形內角和定理，然后回顧求四邊形的內角和，采用連接四邊形的一條對角線，得到兩個三角形，從而得到其內角和為2×180°=360°，并提出能否從中得到n邊形的內角和呢？學生通過分析，觀察，對比，從一個頂點出發的對角線把n邊形分成（n－2）×180°.接著進一步鼓勵學生探究：能否在多邊形內任取一點，連接該點與多邊形的每個頂點，用這種劃分的方法來說明n邊形的內角和呢？學生在興趣的驅使下，紛紛在練習本上畫圖，研究，討論，很快找到第二種方法，有的學生還找到第三種方法：即在多邊形的某一邊上任取一點，連接該點與多邊形的每個頂點，用這種劃分的方法同樣能說明n邊形的內角和定理.一些思維活躍的學生甚至提出第四，第五種方法……從四邊形，多邊形的內角和的探索實踐中，教師也很容易地引導學生得出多邊形的問題可以轉化為三角形的問題予以解決.從特殊到一般，從具體到抽象的過渡．只要善于挖掘，對很多課本的例習題及概念都可做到舉一反三，融會貫通，既能鞏固基礎知識又能拓展知識空間，訓練思維，提高能力，同時使得學生不再認為課本是枯燥無味的，也培養了學生多種思維品質，收到事半功倍的教學效果．

教學過程是層層躍進，讓學生“感受”了“從特殊到一般”再“從一般到特殊”的思維歷程.按照梅森（J.Mason）的觀點，特殊化與一般化正是數學思維的核心，同時也是怎樣解題的關鍵所在.

二、問題形式變化，深化概念理解

不改變問題的條件，有梯度的向縱深發展，在學生思維水平的“最近發展區”挖掘出新結論，實際教學中，二次函數的“一題多問”，幾何中的“一圖多問”都能非常有利于教學效率和教學質量的提高．

例如：二次函數的圖像過點（0，0）與（－1，－1），開口向上，且在x軸上的截取的線段長為2，求它的解析式.因為二次函數的圖像拋物線是軸對稱圖形，由題意畫圖后，不難看出（－1，－1）是頂點，所以可以利用頂點式求出它的解析式.對此題作如下變化：拋物線在x軸上的截取的線段長為2改為4，求它的解析式.由題意可知（－1，－1）不再是拋物線的頂點，但從圖中可以看出，圖像除了經過已知條件的兩個點外，還經過一點（－4，0），所以可以用交點式求出它的解析式.再對例題進行變化，把題目中的”開口向上”這一條件去掉，再次變化后，此題可以有兩種情況：（1）開口向上，（2）開口向下，所以有兩個結論.變式，就是從萬古常理中求新，從千變萬化中求同，看似簡單重復，其實是不斷漸進創新，讓學生在層出不窮的變式中獲得新知識、新方法、新思想、新體驗．越是民族的，越有生命力；越是傳統的，越有實效．讓變式在我們的數學課堂里自然流暢！

三、改常規題為探索題，突出逆向思維

《數學課程標準（實驗）》的基本理念指出：“學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的方式.這些方式有助于發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程.

例如：在直線l同側有A、B兩點，在直線l上找一點M，使它對C、D兩點的張角最大.本題的解不能一眼看出，需要我們去引導學生：假設動點M在直線l上從左向右逐漸運動，并隨時觀察∠D的變化，可發現：開始是張角極小，隨著M點的右移，張角逐漸增大，當接近K點時，張角又逐漸變小（到了K點，張角為0）.于是初步猜想在這兩個極端值之間一定存在一個K點，它對C、D兩點的張角最大.如果結合圓周角的知識，便可進一步猜想：過C、D兩點作圓與直線l相切，切點M即為所求，然而，過C、D兩點且與直線l相切的圓是否只有一個，我們還需要學生進一步去思考，引導學生去猜想.

數學是思維的科學．數學教學應是數學本質的教學．變式的問題的設計可以給學生提供一個寬松的“再創造”的環境，激發了學生獨立思考和創新的意識.學生通過添加條件，形成問題，問題來自于學生，而又通過學生來解決問題，這樣才真正把提出問題和解決問題的權利還給了學生，從思維激發的角度來看最具有價值.變式題的設計，要“見微而知著”，通常以課本的例、習題為素材，經過挖掘引申、類比聯想、推廣應用等編制而成，一題多變、一圖多問也是變式題設計的常用方法．在數學教學中，要重視課本的習題，有些是難得的好題，如果一帶而過，實在可惜．若尋求其內在規律，把知識從一個問題遷移到另一個問題，從而達到舉一反三、觸類旁通之效果．這樣不僅能加深基礎知識的理解和掌握，更重要的是在開發學生智力、培養和提高學生能力等方面，能發揮其獨特的功效．

中學的數學教學，應具有濃厚的“數學味”，要淡化形式，注重實質；要順其自然，追求自然．變式，是數學課堂教學達到上述目標的最好途徑，非常有利于教學效率和教學質量的提高．