幾何應(yīng)用問題的處理方法

☉江西省贛州市四中 劉 驊

數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)學(xué)建模提出了明確要求.標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)：“從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等方面得到進(jìn)步和發(fā)展.”數(shù)學(xué)建模對(duì)初中學(xué)生來說是難點(diǎn)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模的能力，能使學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和方法.但許多同學(xué)在數(shù)學(xué)建模時(shí)不得法，導(dǎo)致失分嚴(yán)重.下面結(jié)合具體例題，分類解析與幾何圖形有關(guān)的應(yīng)用題的求解策略.

一、與直線有關(guān)的應(yīng)用問題

例1 為保護(hù)環(huán)境，市政府計(jì)劃在連接A、B兩居民區(qū)的公路北側(cè)1500m的海邊修建一座污水處理廠，設(shè)計(jì)時(shí)要求該污水處理廠到A、B兩居民區(qū)的距離相等.

（1）若要以1∶50000的比例尺畫設(shè)計(jì)圖，求污水處理廠到公路的圖上距離.

（2）在圖中畫出污水處理廠的位置P.

（2）因?yàn)橐笪鬯幚韽S到A、B兩居民區(qū)的距離相等，所以污水處理廠的位置應(yīng)在線段AB的垂直平分線的正北方向，并且到線段AB的距離為3cm.

點(diǎn)撥：應(yīng)用比例尺計(jì)算時(shí)應(yīng)注意設(shè)未知數(shù)，未知數(shù)的單位要與題中已知的長(zhǎng)度單位統(tǒng)一.

二、與三角形有關(guān)的應(yīng)用問題

圖1

例2 如圖1，小明想測(cè)量校園一棵不可攀的樹的高度，由于無法直接度量A、B兩點(diǎn)間的距離，請(qǐng)你用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)按以下要求設(shè)計(jì)一種測(cè)量方案.

（1）畫出測(cè)量圖案.

（2）寫出測(cè)量步驟（測(cè)量數(shù)據(jù)用字母表示）.

（3）計(jì)算A、B間的距離（寫出求解或推理過程，結(jié)果用字母表示）.

解：如果是在晴朗的白天測(cè)量，可借鑒一面小鏡子測(cè)量.

（1）測(cè)量圖案如圖2所示.

圖2

（2）測(cè)量步驟：①量出CA=a，在C處放一個(gè)小鏡子；②沿AC向后退，直至能在小鏡中看到樹尖B時(shí)停止；③量出CD=b，測(cè)量者的目高DE=c.

（3）根據(jù)光學(xué)中的“入射角＝反射角”可知∠DCE＝∠ACB，從而有 Rt△DCE∽R(shí)t△ACB，所以

如果是陰天，可使用專業(yè)測(cè)量?jī)x器進(jìn)行測(cè)量

（1）測(cè)量圖案如圖3所示.

（2）測(cè)量步驟：

①度量AD=a；②儀器高度CD=b；③∠BCE=α.

（3）計(jì)算：AB=BE+EA=atanα+b.

點(diǎn)撥：測(cè)量方法不唯一，只要合理即可.上述測(cè)量的方法一雖然比較便捷，但有個(gè)限定條件——必須有陽(yáng)光；后一種方法雖然適用于任何天氣，但需要有測(cè)量?jī)x器.

三、與四邊形有關(guān)的應(yīng)用問題

圖4

例3 如圖4，在把易拉罐中的水倒入一個(gè)圓水杯的過程中，若水杯中的水在點(diǎn)P與易拉罐剛好接觸，則此時(shí)水杯中的水深為（ ）.

A.2cm B.4cm

C.6cm D.8cm

分析：從圖4中的數(shù)據(jù)和符號(hào)可知，易拉罐進(jìn)入圓水杯中的部分是一個(gè)等腰直角三角形，點(diǎn)P到水杯口的水平面的距離等于直角三角形斜邊的一半（水杯直徑的一半），即為4.此時(shí)水杯中的水深為 10-4＝6（cm）.

答案：C.

點(diǎn)撥：求解該題關(guān)鍵是結(jié)合圖形理解題意，正確地進(jìn)行數(shù)學(xué)建模.

四、與圓有關(guān)的應(yīng)用問題

例4 2005年10月，繼楊利偉之后，航天員費(fèi)俊龍、聶海勝又遨游了太空，這大大激發(fā)了王紅庭同學(xué)愛好天文學(xué)的熱情.他通過上網(wǎng)查閱資料了解到，金星和地球的運(yùn)行軌道可以近似地看做是以太陽(yáng)為圓心的同心圓，且這兩個(gè)同心圓在同一平面上（如圖5①所示），由于金星和地球的運(yùn)轉(zhuǎn)速度不同，所以兩者的位置不斷發(fā)生變化，當(dāng)金星、地球距離最近時(shí)，此時(shí)叫“下合”；當(dāng)金星、地球距離最遠(yuǎn)時(shí)，此時(shí)叫“上合”；在地球上觀察金星的視線恰好與金星軌道相切時(shí)，此時(shí)分別叫“東大距”和“西大距”.已知地球與太陽(yáng)相距約為15（千萬公里），金星與太陽(yáng)相距約為10（千萬公里），分別求“下合”“東大距”“西大距”“上合”時(shí)，金星、地球的距離（可用根號(hào)表示）.

（注：在地球上觀察金星，當(dāng)金星分別在太陽(yáng)的左、右兩側(cè)且視線恰好在與金星軌道相切的位置時(shí)，分別叫做西大距、東大距）

圖5

解：由題意可知，小圓是金星運(yùn)行的軌道，大圓是地球運(yùn)行的軌道，圓心O是太陽(yáng)所在位置（如圖5②）.當(dāng)金星位于點(diǎn)A，地球位于點(diǎn)B時(shí)，金星和地球的距離最近，即下合，此時(shí)它們的距離等于兩圓半徑之差，即15-10=5（千萬公里）.當(dāng)金星位于點(diǎn)C，地球位于點(diǎn)B時(shí)，金星和地球相距最遠(yuǎn)，即上合，此時(shí)它們的距離等于兩半徑之和，即15+10=25（千萬公里）.當(dāng)金星位于點(diǎn)D，地球位于點(diǎn)B（OD⊥BD）時(shí)，稱為西大距，此時(shí)，金星、地球的距離（千萬公里）.根據(jù)圓的軸對(duì)稱性可知，金星與地球的東大距也等于（千萬公里）.

點(diǎn)撥：該題的關(guān)鍵是數(shù)學(xué)建模，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為同心圓的計(jì)算問題.