初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)最值問題的探討

江蘇省淮陰中學(xué) 朱翠英

最值問題是初中數(shù)學(xué)中一類綜合性很強(qiáng)的問題，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要組成部分，在整個(gè)初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中都存在最值問題，這類試題也是近幾年中考的熱點(diǎn)問題之一，它主要考查學(xué)生對平時(shí)所學(xué)的內(nèi)容綜合運(yùn)用，突出了對學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的考查.通過這類試題的教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，對學(xué)生思維能力的提高有較大的幫助.

解這類題目要盡可能簡便地建立坐標(biāo)系，再寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，或是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，把代數(shù)式轉(zhuǎn)化為幾何圖形，或是結(jié)合動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)屬性，分析圖形特征，根據(jù)題目的條件寫出關(guān)系式，最后求解.本文試從以下幾個(gè)方面對這類問題作一些簡單的探討.

一、出現(xiàn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的解題方法

這類試題的解決方法主要是通過軸對稱，將動(dòng)點(diǎn)所在直線同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)中的其中一個(gè)，映射到直線的另一側(cè)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在這個(gè)定點(diǎn)的對稱點(diǎn)及另一定點(diǎn)的線段上時(shí)，由“兩點(diǎn)之間線段最短”可知線段和的最小值，最小值為定點(diǎn)線段的長.

例1 如圖1，已知L是一條鄉(xiāng)村公路，A、B為公路一側(cè)的兩個(gè)村莊，為方便學(xué)生上學(xué)，準(zhǔn)備在公路邊上新建一所小學(xué)，如果是請你設(shè)計(jì)新學(xué)校的校址，你準(zhǔn)備選在哪里可使學(xué)校兩村莊到學(xué)校的距離和最小？

解析：作B關(guān)于L的對稱點(diǎn)B′，有MB=MB，于是MA+MB=MA+MB′≥AB（當(dāng)且僅當(dāng)從運(yùn)動(dòng)到AB′和L的交點(diǎn)M′時(shí)等號成立），建在M′點(diǎn)符合條件.

圖1

二、出現(xiàn)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的解題方法

兩動(dòng)點(diǎn)，其中一個(gè)隨另一個(gè)動(dòng)（一個(gè)主動(dòng)，一個(gè)從動(dòng)），并且兩動(dòng)點(diǎn)間的距離保持不變.用平移方法，可把兩動(dòng)點(diǎn)變成一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為“兩個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”類型來解.

例2 如圖2，河岸兩側(cè)有A、B兩個(gè)村莊，為了村民出行方便，計(jì)劃在河上修一座橋，橋修在何處才能使兩村村民來往路程最短？

圖2

解析：設(shè)橋端兩動(dòng)點(diǎn)為M、N，那么N點(diǎn)隨M點(diǎn)而動(dòng)，MN等于河寬，且MN垂直于河岸.將B向上平移河寬長到B′，線段AB′與河北岸線的交點(diǎn)即為橋端M點(diǎn)位置.四邊形BB′MN為平行四邊形，B′M=BN，此時(shí)AM+BN=AM+B′M=AB′值最小.那么A、B兩村來往最短路程為：AM+MN+NB=AB′+MN.

三、出現(xiàn)三個(gè)動(dòng)點(diǎn)的解題方法

當(dāng)題中出現(xiàn)三個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，在求解時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)，（1）作定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對稱點(diǎn).（2）同時(shí)要考慮點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、線線之間的最短問題.

例3 如圖3，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E，F(xiàn)，P分別為AB，BC，AC上動(dòng)點(diǎn)，求PE+PF最小值.

解析：作E關(guān)于AC所直線的對稱點(diǎn)E′，于是有PE+PF=PF+PE′≥E′F，又因?yàn)镋在AB上運(yùn)動(dòng)，故當(dāng)E′F和AD，BC垂直時(shí)，E0F最短，易求E0F=x+y=4.

圖3

四、動(dòng)點(diǎn)最值在求代數(shù)最值問題中的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，注重對學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的引導(dǎo)和啟發(fā)，有助于學(xué)生在解決問題時(shí)從不同角度去思考和探索，從多角度去解決問題，對培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力也有很大的幫助.

解析：可以讓學(xué)生思考直角三角形中直角邊和斜邊的邊長關(guān)系，就能想到是以x、1為直角邊的直角三角形斜邊的長是以y、2為直角邊的直角三角形斜邊的長，那么這個(gè)問題就可轉(zhuǎn)化成求兩條線段和的最值問題.這種解決問題的思維方法只有在長期的訓(xùn)練中逐漸養(yǎng)成，是一個(gè)漸進(jìn)的過程，不可操之過急.

圖4

如圖4，AB=4，P為AB上一動(dòng)點(diǎn). 設(shè)PA=x，PB=y.CA⊥AB，DB⊥AB，A、B為垂足，且CA=1，BD=2，則PC+PD=可知當(dāng)點(diǎn)P，C，D在同一條直線上時(shí)，PC+PD最小.作CE垂直DB的延長線交點(diǎn)為E，所以，EC=4，ED=2+1=3，即：PC+PD=DC=，故最小值為5.

五、動(dòng)點(diǎn)最值在圓中的運(yùn)用

對于圓上有動(dòng)點(diǎn)的幾何最值問題，常需根據(jù)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)屬性，分析圖形特征，運(yùn)用直徑是圓中最大的弦或不等量公理求解.

例5 如圖5，已知AB是半圓的直徑，如果這個(gè)半圓是一塊鐵皮，四邊形ABDC是內(nèi)接半圓的梯形，試問：怎樣剪這個(gè)梯形，才能使梯形ABDC的周長最大？

圖5

解析：本例是求半圓AB的內(nèi)接梯形的最大周長，可設(shè)半圓半徑為R.由于AB∥CD，必有AC=BD.

若設(shè)CD=2y，AC=x，那么只需求梯形ABDC的半周長u=x+y+R的最大值即可.

總之，解決這一類動(dòng)點(diǎn)最值問題，關(guān)鍵在于善于作定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對稱點(diǎn)，或動(dòng)點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對稱點(diǎn)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，這對于解決動(dòng)點(diǎn)最值問題有著事半功倍的作用.