梯形問題中如何添加輔助線

☉湖北省襄陽市第二十八中學 米伶俐

用簡單已知的圖形去探索較復雜未知的圖形，是我們學習平面幾何的重要和基本的方法.大多數梯形問題都需要添加輔助線.總的來說，梯形問題就是通過添加輔助線，把梯形轉化為平行四邊形和三角形，然后把問題放在平行四邊形和三角形中來解決.下面簡單介紹一下梯形常見輔助線添加的方法.

一、平移梯形的腰

1.平移一腰，把兩腰和上底、下底的差放在一個三角形中.

例1 如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=4，∠C=70°，∠B=40°.

則AB的長為.

分析：過點A作AE∥DC，交BC于點E，得平行四邊形AECD和△ABE，這樣，上下底之差和同一底上的兩個角就集中在一個三角形內，從而求解.

解：過點A作AE∥DC，交BC于點E，得平行四邊形AECD和△ABE.

因為AE∥DC，所以∠AEB=∠C=70°.又因為∠B=40°，所以∠BAE=70°.所以△BAE為等腰三角形.

所以AB=BE=BC-CE=BC-AD=4-1=3.

2.同時平移兩腰，構建新的特殊三角形.

例2 如圖2，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別為AD、BC的中點，若∠B+∠C=90°，AD=7，BC=15，求EF的長.

解析：已知條件中有同一底上的兩個角∠B+∠C=90°，充分利用這一條件，把它放在一個三角形中，構成直角三角形，而EF恰為直角三角形的中線，可以利用直角三角形斜邊上中線等于斜邊長度的一半，求出EF的長.

解：過E作EG∥AB，EH∥DC，分別交BC于G、H，得平行四邊形ABGE和平行四邊形DCHE.

因為∠B+∠C=90°，所以∠EGH+∠EHG=90°.

所以△EGH為直角三角形.因為E、F分別為AD、BC的中點，所以GF=FH，即F為Rt△EGH斜邊上的中點.因為GH=BC-AD=15-7=8，所以

小結：只要已知梯形中兩腰、兩底的長，同一底上的兩個角大小等條件，加上平移一腰或兩腰后構成的三角形是等腰、等邊或者直角三角形這些條件，就可以把梯形問題轉化為三角形問題.

二、平移對角線

過梯形的上底的一個端點作一對角線的平行線，與另一底的延長線相交，得平行四邊形和三角形，再利用平行四邊形和三角形的有關性質解題.

例3 如圖3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，AC=6，BD=8，求梯形ABCD的高.

圖3

解：設梯形ABCD的高為h，過D點作DE∥AC，交BC的延長線于E，得平行四邊形ADEC，所以DE=AC=6.因為AC⊥BD，DE∥AC，所以∠BDE=90°.在Rt△BDE中，BD=8，DE=6，所以BE=10.因為即8×6=10h，所以h=4.8，即梯形ABCD的高為4.8.

小結：在梯形問題中，只要有兩條對角線的大小和位置關系的條件，就用平移一條對角線的辦法，把兩條對角線、上下底之和放在一個三角形中，就會出現等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形等特殊三角形，就可以利用特殊三角形的性質來解決此類問題.

三、過梯形一腰中點構造全等三角形

圖4

找出一腰中點，連接頂點和這個中點并延長，與底邊延長線相交，構造全等三角形.

例4 如圖4，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD的中點，求證：CE⊥BE.

證明：延長CE交BA的延長線于點M.

因為E是AD的中點，所以AE=DE.

又因為∠BAE=∠CDE=∠MAE=90°，∠MEA=∠CED，

所以△MAE≌△CDE.

所以ME=CE，AM=DC.

所以BM=AB+AM=2+1=3.又因為BC=3，

所以△BCM為等腰三角形.又因為ME=CE，所以BE⊥CM，即CE⊥BE.

小結：在梯形中，只要有腰上的中點，采用過中點構造全等三角形，從而把上下底之和與另一條腰集中在一個三角形中，而這個三角形又是一個特殊三角形，問題就簡單了.

四、作梯形的高

過梯形較短的底的兩端點向另一底所在直線作垂線，把梯形分割成兩個直角三角形和一個矩形.

例5 在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，若AD=5，CD=2，AB=8，求梯形ABCD的面積.

解：通過作高DE、CF，把這個梯形分割成兩個全等的直角三角形和一個矩形，從而求出AE=3，利用勾股定理可以得出DE=4，也就是梯形的高.這道題就迎刃而解了.本題解法省略.

另外，我們還可以采用延長梯形的兩腰，構建兩個三角形的方法解決一些實際問題.總之，通過添加梯形的輔助線，我們就能化繁為簡，輕松解決很多梯形問題.