一節高三復習課的聽課感悟

☉安徽省五河第二中學 劉瑞美 張永輝

在當今積極推進新課程理念過程中，倡導積極主動、勇于探索的學習方式，要求學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和聯系，高中數學課程還應倡導主動探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的方式.這些方式有助于調動學生學習的積極性和主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程.鼓勵學生在學習的過程中，養成獨立思考、積極探索的習慣.同時高中數學課程還力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的過程，發展他們的創新意識.

下面是筆者隨行聽取的高三復習課中的“函數圖像變換”專題中的第一課時，授課老師通過學生自主探究與合作學習探究平移變換和伸縮變換的規律，師生配合默契，整個教學過程在愉快的情境下完成.聽完本節課后筆者感觸頗深，現摘錄課堂探究片段，并就此談幾點感悟，不到之處，還望各位賜教.

教學片段1：函數圖像平移變換1

師：我們來研究由函數y=f（x）的圖像通過怎樣的變換可以得到函數y=f（x+a）的圖像.按照從特殊到一般的原則，首先考慮下列函數，請每組同學從中選擇一種（各組不同）合作探究.

經過學生的自主探究和合作交流，并在教師的巡視指導下，讓學生交流探究結果，提出猜想：函數y=f（x）的圖像向左平移（a>0）|a|個單位，或向右平移（a<0）|a|個單位就可以得到函數y=f（x+a）的圖像.這就是我們通常所說的：左加右減原則.

師：如何驗證猜想？

學生繼續分組探究，證明后教師演示函數圖像左右平移變換動畫課件.

師：剛才我們在研究函數圖像左右變化的規律時，大家都采用了什么方法？請同學們猜猜老師選擇這些特殊函數的意圖.（留給學生思考和再探索的空間）.

教學片段2：函數圖像平移變換2

師：上面我們研究了函數圖像左右平移的變化規律，下面再來研究一下由函數y=f（x）的圖像通過怎樣的變化可以得到函數y=f（x）+b的圖像.仿照上面的方法，請同學們還是按照從特殊到一般的原則，請每組同學從冪函數、指數函數、對數函數、三角函數選擇一種（各組不同）合作交流.

學生分組探究，教師巡視指導，學生概括并交流探究結果，提出猜想：函數y=f（x）的圖像向上平移（b>0）|b|個單位，或向下平移（b<0）|b|個單位就可以得到函數y=f（x）+b的圖像.

師：這就是我們通常所說的：上加下減原則.驗證猜想后，教師演示函數圖像上下平移變換動畫課件.

感悟一：注重學生能力培養滲透思想方法

如果教學目標僅僅是掌握函數圖像平移變換和伸縮變換的規律，那么比較高效的設計就是老師先給出示范規律并演示動畫課件，然后通過幾個例題來解釋說明，最后練習鞏固小結即可.然而這位老師并沒有這樣做，本節課不僅關注學生掌握函數圖像平移變換和伸縮變換的規律這一結果，而且關注學生能力的提高，即通過觀察、比較、歸納猜想、驗證，探究平移變換和伸縮變換的規律，體驗從特殊到一般的合情推理思想，在教學過程中注重滲透數形結合和分類討論等重要的數學思想方法，注重對學生數學實踐能力和數學探究能力的培養.

通過學生自身的活動，按照從特殊到一般的規律，從不同的途徑獲得結論.從這位老師的課堂教學預設中，讓學生感受到數學探究的目的并不是為了得到一個確定的結論，而是強調一種主動參與的學習方式，培養學生的數學興趣.在教學中這位老師做到了以下幾點：

1.加強基礎知識的教學，使學生能接近數學.數學并不神秘，數學就在我們周圍，我們時時刻刻都離不開數學.

2.引入數學實驗，讓學生感受到數學的直觀.讓學生以研究者的身份，參與包括探索、發現在內的獲取知識的全過程，使其體會到通過自己的努力取得成功的快樂，從而產生濃厚的興趣和求知欲.

3.鼓勵攻克數學，使其在發現和創造中享受成功的喜悅.激發了學生的求知欲望，培養了學生自主探究的良好學習習慣，學生學習樂在其中，培養了學生不斷探索的欲望.

在進行數學活動時，讓學生真正的“活動”起來，在活動的過程中作出合情推理的猜想念頭.因此，這位老師在教學過程中適當的延長學生探究的時間，給學生探究的結果進行一次再展示的機會，讓學生體會到成功的喜悅，這樣適當的延長探究的時間意義重大，讓學生經歷從無到有、從有到優的親身體會，使學生從中真正賞析了數學的內在聯系，感悟到數學之美.這位老師通過自主學習和合作探究，讓學生在一個較寬松的環境下進行自我學習，并通過對兩類平移變換的探究，讓學生發現他們的變換規律和內在聯系，并使用幾何畫板讓他們感受到幾何直觀.

教學片段3：函數圖像平移變換3

師：通過上面的探究，請同學來看函數y=f（x）的圖像通過怎樣的變化可獲得函數y=f（x+a）+b的圖像呢？

學生經過獨立思考后分組探究驗證，可以有兩種途徑得到結論：即可先左右平移，再上下平移；也可以先上下平移，再左右平移.最后老師演示函數圖像平移變換動畫課件，驗證同學們的探究成果，并給同學們以鼓勵，激發他們的學習情趣和勇于探索的精神.

動態的課堂生成是基于師生互動的創造，因此教師要有足夠的耐心善待和寬容學生學習過程中出現的不足和錯誤，教師應成為課堂智慧的引領者，給予學生有效地價值引導和點撥，讓課堂生成更有活力.這位老師把左右平移變換和上下平移變換綜合起來，并通過幾何畫板進行演示，使學生對平移變換既有理論上的認識，又有直觀上的感知，以形助數，為后面的伸縮變化奠定了基礎.

教學片段4：函數圖像伸縮變換

以上我們共同探究了函數圖像的平移變換，下面我們再來研究一下函數圖像的伸縮變換.

師：下面我們來研究函數y=f（x）的圖像通過怎樣變換可以得到函數y=f（ωx）；y=Af（x）；y=Af（ωx）（A>0，A≠1，ω>0，ω≠1）的圖像.咱們還是按照從特殊到一般的原則，請每組同學從冪函數、指數函數、對數函數、三角函數選擇一種（各組不同）合作交流.

學生經過自主學習和分組探究，在教師的巡視指導下，學生概括并交流研究成果，提出猜想：

函數y=f（x）的圖像上各點的橫坐標縮短（ω>1），或伸長（0<ω<1）到原來的倍（縱坐標不變），就得到函數y=（fωx）的圖像.這就是我們通常所說的周期變換.

函數y=f（x）的圖像上各點的縱坐標伸長（A>1），或縮短（0

師：因此，要從函數y=f（x）的圖像獲得函數y=Af（ωx）（A>0，A≠1，ω>0，ω≠1）的圖像也有兩種途徑：即先周期變換，再振幅變換，或先振幅變換，再周期變換.盡管這兩種變換的順序不同，但變換的結果是一樣的（限于篇幅，不再贅述）.

學生驗證猜想后，教師演示函數圖像伸縮變換動畫課件.

感悟二：采用合作探究的學習方式培養團隊意識

在探究平移變換和伸縮變換的規律時，教師合理地選擇合作探究學習的策略.其合理性表現在：

第一，合作探究的問題有價值，有意義，而且是學生短時間獨立完成困難的，但又是在學生力所能及范圍內的具有挑戰性的問題，合作探究是必需的.

第二，在合作探究前，給學生獨立思考的時間，讓學生帶著自己的觀點或觀點雛形參與到合作學習中，他（她）們才能真正體驗到討論帶來的挑戰性以及與他人分享成功的快樂.

第三，既重視教師的適度引導，也注重學生自主充分發揮，保證學生合作探究學習的時間.

第四，合作探究學習形式多樣，既有組間的小組合作，也有組內的小組合作.

第五，小組成員之間明確責任分工，注重聽取組內和組外不同的建議和意見，形成良好的合作交流的學習習慣.

許多老師認為這樣的上課形式固然很好，但太耽誤時間，不如老師把結論演示一下再展示給學生，這樣既省時，又省力.然而我們應該知道學生是一個靈動的主體，是一個個活生生的人，蘊藏著巨大的能量，思考著同一個問題，不同的主體之間由于思維方式的不同、知識結構的差異，往往能迸發出許多出人意料的思考方法.教學過程中教師一定要充分相信學生，努力為他們創設寬松的學習環境和資助探究的時空，讓他們各顯神通，讓他們的思維碰撞出更絢麗多彩的火花.本節課這位老師不惜時間，學生在老師的引領下，通過自主探究與合作探究掌握了由函數y=f（x）的圖像如何到函數y=f（ωx）的圖像以及由函數y=f（x）的圖像如何獲得函數y=Af（x）的圖像的操作方法，并借助于幾何畫板完美呈現了伸縮變換，通過圖形直觀誘發直覺，讓難點問題易如反掌.但應當注意的是，數學總是圍繞著數與形展開的，雖然本節課是研究函數圖像變換的，但還應在數上多花點時間.我國著名數學家華羅庚先生說過“數缺少形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休”.這節課研究的“形”較多，還應在“數”上多做文章為好.

教學片段5：函數圖像平移變換與伸縮變換的比較

師：上面我們已經共同研究了函數圖像的平移變換和伸縮變換，得到了它們的變換規律.現在我們再來探究它們的異同點.

學生自主學習后分組探究，師生共同歸納：

平移和伸縮變換都有左右或上下變換，都是x或y在變.

左右平移、左右伸縮是x在變化，變化的規律與一般習慣相悖.

當a>0時，函數y=f（x）的圖像向左平移a個單位，得到函數y=f（x+a）的圖像；

函數y=f（x）的圖像向右平移a個單位，得到函數y=f（x－a）的圖像.

當ω>1時，函數y=（fx）各點的橫坐標縮短到原來的倍，得到函數y=f（ωx）的圖像；

當0<ω<1時，函數y=（fx）各點的橫坐標伸長到原來的倍，得到函數y=f（ωx）的圖像.

上下平移、上下伸縮是y在變化，變化的規律與一般習慣相符.

當b>0時，函數y=f（x）的圖像向上平移b個單位，得到函數y=f（x）+b的圖像；

函數y=f（x）的圖像向下平移b個單位，得到函數y=f（x）－b的圖像.

當A>1時，函數y=f（x）的圖像各點縱坐標伸長到原來的A倍，得到函數y=Af（x）的圖像；

當0

感悟三：不斷開發學習資源，完善知識體系

由于函數的重要性和抽象性，所以函數內容是整個高中數學的重點內容也是難點內容，而函數的圖像就像函數的肢體一樣，能清晰地反映函數的特征.因此高中階段對函數性質的研究往往是通過研究函數的圖像及其變換獲得的，這也許就是函數圖像及其變換成為高考命題熱點和常青樹的原因之一.

數學知識的學習過程需要有一個對所學知識的掌握、加工和理解的認識過程，也需要有一個對該過程進行積極的監控、調節的的反思過程.波利亞說過：“數學問題的解決僅僅只是一半，而更重要的是解題之后的回顧與反思.”在完成對知識的探究之后，這位老師能從學生認知的高度對所學知識給予總結歸納，讓學生更系統的掌握平移變換和伸縮變換的本質，注重對數學思想方法的研究.通過比較兩種變換，掌握其變換規律，使學生在師生的互動交換中對知識的掌握得到升華.當然課堂上學生的思考時間顯得倉促，學生的思維量不足.

感悟四：適時進行課件演示激發學習動機

課件的演示是有講究的，安排在不同的階段的作用是不一樣的.一是先演示后探究，動機激發.這位老師首先以若干函數圖像變換的動畫課件引出課題，激發了學生學習的興趣和探究的欲望，然后再讓學生有步驟地合作探究；二是先探究后演示，印象鮮明，每次探究后，這位老師再通過動畫課件演示印證結論，這樣學生不僅經歷了過程，提高了能力，同時也對變換規律留下了深刻的印象，為規律的靈活運用打下了堅實的基礎.這位老師在不同階段采用不同的演示順序，由表及里，為學生完整的獲取函數的圖像變換奠定了基礎.

“函數圖像變換”在高中數學教材中沒有具體的章節，而是分散于函數的各節內容中，因此在高三復習階段，這位老師站在圖像變換的高度系統與學生一起研究函數圖像的平移、伸縮、對稱變換，可使學生深刻理解函數概念、完善函數知識網絡，提高數學能力.

結束語

高三復習是一項復雜而艱巨的工作，如何提高課堂的復習效率是我們最關注的，然而提高高三課堂的復習效率所采用的方法是多樣的，如何真正實現課堂的有效性，是一門還在研究發展中的學問.教師如何按照教學目標的要求，引導學生進行積極的探索與研究，發揮他們主動參與的意識，這就要求教師能根據所復習的內容，選擇恰當的復習方略，營造一個和諧課堂教學氛圍，力爭最大限度地提高學生學習的興趣.

1.羅增儒.教學效能的故事高效課堂的特征，中學數學教學參考［J］.2011，1-2合刊，2011，3.

2.邵珍紅.自主探究、合作交流在課堂中的實際應用，數學通報［J］.2011，2.

3.王曉軍.問題鏈：課堂教學反思后的對策，數學通報［J］.2011，3.

4.張琥.解題教學因研究高考題而精彩，中學數學教學參考［J］.2010，5.