兒童對等分概念的認知發展研究綜述

喬 佳

（江蘇師范大學科文學院，江蘇 徐州 221000）

1 問題提出

早在人類還沒出現語言之前，人們為了生存已開始用簡單的符號來計數[1]。分數作為重要的數字知識之一，兒童是何時開始認識分數，他們又是如何掌握并運用分數的呢？很多研究顯示，兒童在沒有正式學習分數之前就已開始接觸分數并對等分概念有了初步的感性認識。如:兒童會把蘋果分成兩半，把蛋糕分成四份等。在日常的生活中，我們也會看到即使很小的兒童都有能力把東西較等分地分成兩份。本研究以兒童對分數中等分概念的認知發展進行闡述，以供為其深入研究奠定基礎。

2 等分的概念

2.1 分數的概念

在古代，人們在分東西的時候，經常出現結果不是整數的情況，于是漸漸產生了分數。在我國，最初是用算籌表示，像2/5就表示成。后來，阿拉伯人發明了分數線，就把分數表示成現在的樣子了[2]。

從數學角度考量，分數在小學教科書中被定義為“把整體‘1’平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數”[3]。從這個定義可以看出，分數的實質是等分。從教育心理學考量，Yoshida&Sawano認為，分數包括“部分與整體”、“比率”、“運算”等方面，但部分與整體的關系是分數認知的基礎和前提[4]。

2.2 等分的概念

不論從何角度去定義分數概念，“等分”都是作為掌握分數的基礎。而學會等分之前，兒童還需要了解“整體—部分”的關系，即了解整體與部分的關系又是認識等分概念的基礎。

等分的概念比較容易理解，張新華認為，等分是分數概念的核心，指整體平均分成相等部分[5]。林福來等則將等分定義為是指將一個連續量或非離散量分開，而分開的各部分的量都是均等的，等分是兒童必須具備的基礎概念[6]。

3 兒童對等分概念的認知發展

3.1 兒童對部分與整體關系的認知

部分與整體的關系是在研究分數概念中必不可少的重要內容。兒童對整體及部分關系的認識水平直接反映他們的思維水平與階段，同時也是他們掌握等分概念的基礎。

何記全在非除法運算解答包含除的實驗中對6-7歲兒童對部分與整體的關系認知進行研究。結果表明，6-7歲的兒童具有一定的整體與部分的概念。此外，研究結果還顯示，兒童對部分與整體關系的掌握有助于分數和數學知識的學習[7]。

Hunting研究發現，對于“整體與部分”關系的認知，3－4歲的兒童就已經可以初步理解，在5歲時，就可以完全掌握“一半”的概念[8]。

我國學者劉靜和等就兒童對數及數學上的部分與整體關系的認知發展進行了系統研究。研究發現，兒童認識部分和整體的關系中，存在兩個時間拐點，分別是5.5至6.5歲和7至8歲[9]。

由以上文獻可以看出，在有關兒童分數中，部分與整體的關系研究時間都比較早，但在這些早期的整體與部分研究中卻已包含了等分關系內容（如:在劉靜和的研究項目中“一塊蛋糕分給三個小朋友吃，怎么分可以讓他們吃得一樣多？”）部分與整體的關系是理解等分概念的先決條件，正如兒童必須先會數數，才能進行后續的數學運算一樣。

3.2 兒童對等分概念的認知

皮亞杰等人在研究3-8歲兒童在處理等分任務中發現，兒童完成順序依次是1/2、1/4、1/3、1/5和1/6。此外，皮亞杰認為，兒童的認知發展有以下幾個階段:（1）4至4.5歲的兒童，他們還不理解部分和整體之間的關系；（2）4至6歲的兒童對較簡單的物體可以進行二等分，三等分對于兒童來說，比較困難；（3）6至7歲的兒童，已能完成三等分任務；（4）10歲左右的兒童，能對物體進行六等分。皮亞杰指出，明確等分的概念是兒童理解分數概念的重要前提。4歲左右的兒童基本可以進行二等分，6歲左右的兒童則可以進行三等分。Streefland觀察他的孩子時也發現，孩子先會處理1/2、1/4的分數問題，然后才會處理1/3的分數問題[10]。

Inhelder&Szeminska在探討被分割的整體是離散量還是連續量的研究中，發現兒童先會處理1/2，然后是1/3，1/4，1/5，三等分先于四等分被兒童所掌握。Hiebert&Tonnessen在對5-8歲的兒童進行面積的分數問題研究時，也發現兒童對長度的等分能力是三等分先于四等分[11]。

Pothier等人對兒童完成等分任務提出了一個五階段的理論。首先是機械的分開:兒童只是機械地學習到將物體“分開”，而并沒有意識到分開的物體要相等；其次是分半法則:兒童能以對折來獲得分母為2n的分數，但并沒意識到是否等分；第三是偶數等分:兒童能作出分母為偶數的等分；第四是奇數等分:此階段的兒童可以對分母為奇數的數進行等分；最后是和數等分:即對于較大的份數，兒童開始尋求更有效的策略，他們先進行較小數目和較簡單的等分，然后再繼續等分下去，直到完成為止[12]。

Hunting&Sharpley對22名從3歲10個月到4歲10個月的兒童進行研究，分別讓他們對不同形狀的物體進行等分。結果表明，兒童首先掌握二等分，三等分相對困難；對線性物體的二等分易于圓形物體，其次是柱狀物體，沒有一名兒童能對容積問題進行等分[13]。

我國臺灣學者許惠欣在對幼兒園大班兒童 (平均年齡5歲7個月)的連續量的分割研究中，也得到相似結論[15]。

張新華指出，3-6歲兒童等分的得分均數最高的依次是二等分、四等分，得分均數最低的是五等分。在各個等分任務上，除五等分外，在其余等分任務上不同年齡的兒童均存在顯著差異[14]。

4 結語

由以上研究可知，兒童在生活上雖有“分”東西的經驗，但對于簡單的等分概念卻無法從生活經驗中直接習得。這表現為無論是在離散量還是連續量的情境，兒童都只是將東西分割，卻沒有注意到所分的物體是否存在相等。從等分的份數上看，兒童最先掌握二等分，然后是四等分、三等分和五等分等較為復雜的等分任務，而在四等分和三等分的發展上，不同的研究卻存在差異。從研究材料的類型上，對線段等長度物體的等分易于圓形等平面圖形，最難的立體圖形如球形或柱形以及溶劑問題，兒童最后才能完成。從掌握的時間上看，兒童在3歲時就已經能開始進行二等分，不過5歲時才能對所有類型材料進行完全正確的二等分，6歲時才能理解和完成三等分。

隨著社會各方面的不斷進步，兒童對簡單的等分問題是不是也會有所發展，更小的兒童是不是已能掌握二等分甚至是三等分的概念，這一問題值得思考。其次，兒童在平時生活中會接觸等分的概念，對于國內特殊的三口之家的家庭結構，兒童平時接觸最多的是數字“三”，這是否對其掌握三等分有幫助，甚至早理解三等分的概念先于二等分呢？第三，兒童在等分概念的學習中是不是也存在所謂的“關鍵期”，如果存在是在什么時期，這也是以后所要進一步研究的方向之一。

[1]傅海倫，中外數學史概論[M].北京:科學出版社，2007(2)，176.

[2]三年級上冊數學課本[M].南京:江蘇教育出版社，2008,98.

[3]五年級下冊數學課本[M].南京:江蘇教育出版社，2006,36.

[4]Yoshida,H.&Sawano,K.Overcoming cognitive obstacles in learning fractions:Equal－partitioning and equal－whole[J].Japanese Psycho－Logical Research,2002(44).

[5]張新華.3－6歲兒童早期分數概念發展的研究[D].華東師范大學碩士學位論文,2008.

[6]林福來，黃敏晃，（1993）；呂玉琴（1996）.分數啟蒙的學習與教學之發展性研究[J].科學教育學刊，4（2），161－169.

[7]何記全.關于兒童部分與整體關系認知發展的實驗研究[J].心理學報，1982(1):41－48.

[8]Hunting,R.P.Alan:A case study of knowledge of units and Performance[J].Journal for Research in Mathematics E-ducation.1983（14），3:182－197.

[9]劉靜和.兒童在數及數學上對部分與整體關系認識的發展[J].心理學報，1982（3）:35－43.

[10]Piaget,J.Inhelder,B.&Szeminska,A.The child’s conception of geometry[M].New York:Basic Book,1960.

[11]Hiebert,J.&Tonnessen,L.H.Development of the friction concept in Two physical contexts:An Exploratory Investigation [J].Journal for Research in Mathematics Education,1978（9）:374－378.

[12]Pothier，Y.&Sawada,D.Partitioning:The emergence of rational number ideas in young children[J].Journal for Research in Mathematics Education,1983,14(4):307－317.

[13]Hunting,R.P.&Sharpley,C.F.,Fraction knowledge in preschool children[J].Research in Mathematics Education,1998（19），2: 175－180.

[14]許惠欣.幼兒分配能力之研究:從切割與折紙探析.臺南師院學報，1998(31):327－369.

[15]詹婉華.國小高年級血統分數概念之探究[D].國立臺北師范學院數理教育研究所碩士論文,2003.