基于多重分形的城市地價場構建方法研究

胡守庚 ，成秋明 ，2

（1.中國地質大學（武漢）資源學院，湖北武漢 430074；2.地質過程與礦產資源國家重點實驗室，湖北武漢 430074）

基于多重分形的城市地價場構建方法研究

胡守庚1，成秋明1，2

（1.中國地質大學（武漢）資源學院，湖北武漢 430074；2.地質過程與礦產資源國家重點實驗室，湖北武漢 430074）

研究目的：基于常規插值方法不可避免造成對數據的平滑,未能客觀反映局部地價奇異信息的現狀，探索運用多重分形模型構建城市地價標量場，為研究地價空間分布規律提供新的方法借鑒。研究方法：多重分形插值模型。研究結果：（1）城市地價數據主體部分服從近似對數正態分布，兩端數據顯著偏離對數正態分布，這是有效應用多重分形方法構建城市地價場的前提；（2）插值結果不僅有效地表達了研究區住宅地價空間分布，而且能夠很好地度量地價的奇異性分布特征。研究結論：多重分形插值模型彌補了滑動平均方法構建城市地價場的不足，能有效突出地價局部奇異信息，可為社會經濟領域類似數據空間場構建提供參考。

土地信息；地價場；多重分形；局部奇異性

1 引言

中國城市土地利用向外延擴張及縱深發展的速度之快令世人矚目[1]。地價作為城市土地空間利用變化的重要驅動力量直接影響著人們對土地資源的消費和選擇[2]，不同區域、不同土地用途地價的差異關系著土地利用的形態發展及變化趨勢[3]。在全國房價高居不下且連續高漲的形勢下，更是有大批評論關于當前地價與房價關系等諸多涉及地價合理與否的焦點話題[4-6]。正是地價對于城市和社會發展的重大影響力，及時準確掌握地價的空間分布，科學合理評定或預測區域時點地價不僅成為國家和政府當前有效調控土地市場、修訂土地利用計劃的現實迫切要求[7-9]，也將十分有助于我們從本原上更深層次的認識、理解、模擬土地利用變化，進而實現土地資源可持續利用[10]。

由于城市地價是行政、人口、社會、經濟、自然等多因素綜合作用疊加的結果，其分布及變化十分復雜，要想相對準確地反映區域地價分布的復雜特征及揭示其變化規律，僅采用整體特征的標度指數描述相距甚遠[11]。因此人們在表達城市地價空間分布狀態的時候所用術語和內涵上都不完全一致，但都有按照土地質量等級的差異或地價的高低去度量地價變化的愿望，例如數字地價模型[12]、地價梯度場[13]、Land price gradients[14]、效應場[15]等。場的概念來自于電磁場，是一個比較抽象的概念，依據物理學的理論，樣點地價是反映城市地價場形成及變化的基本要素，將其視為物理學上的電荷，那么樣點周圍都會形成以樣點為中心的地價場，而城市地價場就是眾多樣點地價所形成的綜合場，而且場是在一定范圍里面某種動力學過程產生的，其可以連續可以不連續，并且可以度量，應該存在動力學機制，所以地價場是存在的且是各種作用相互疊加的結果。如城市地價的空間分布是地價在城市發展過程中的經濟、社會、自然屬性和城市內部介質狀態的綜合反映，土地開發過程尤其是與土地經營有關的過程往往呈多期性重復發生，每宗地的價格變動以及任何影響因素的變化均有可能導致周邊宗地價格的變化或者區域價格的攀升或下跌，這種空間上相關的多次開發活動的疊加作用最終形成復雜的具有多維分布特點的地價空間分布格局，它可采用勢能場或標量場的概念來描述[16]，但往往具有時間和空間意義。

長期以來學術界對城市地價時空分布規律的探討主要利用地理信息系統（GIS）和空間插值方法，其中運用反距離插值（IDW）和克里格插值（Kriging）方法描述地價空間分布是大部分學者的選擇[17]，但不同學者使用相同的插值方法卻得出不同的結論，對兩者的適用性和插值精度持不同意見。比如樓立明分別用泰森多邊形方法、距離倒數插值法、普通克里格插值法（Ordinary Kriging）等對余姚市地價進行空間插值，并采用交叉驗證法（Cross-Validation）驗證不同空間插值方法的估計值效果，認為Ordinary Kriging方法要明顯優于其他插值方法[18]。陳思源等采用Ordinary Kriging方法對鎮江市地價進行插值，提取地價分布信息，誤差分析表明樣點地價的對數概率分布接近直線，且均方根標準誤差接近于1，認為插值分析結果可信[8]。施建剛在上海市的研究中比較了IDW和Ordinary Kriging插值效果，則得出IDW要優于Ordinary Kriging的結論[19]。盡管仍然還有其他一些克里格方法如Indicator Kriging,Universal Kriging等未被詳細比較，但克里格是基于變異函數的一種空間插值方法，實際上是一種滑動加權平均，以空間變異性為原則進行加權平均，因而不可避免對數據造成平滑，這種方法對類似儲量計算和參數估計是有效的，對于地價局部異常的分析和識別來說，局部變化信息的壓制和抹殺往往會造成有用信息的丟失[20]。此外，Kevin和Pierre-Daniel則采用半參數估計模型模擬地價空間分布[21]，但前提是要使用大量密集分布的地價樣點，而這在目前中國的大部分城市的土地市場來說存在困難。還有其他學者采用類似的方法進行過不同區域城市地價空間分布的研究[21-33]。由此，筆者發現，當前刻畫城市地價場主要采用傳統空間插值方法，它們不可避免造成對數據的平滑,未能客觀反映局部地價異常信息，而這些局部異常信息往往是客觀存在且具有十分重要的指示意義。例如，針對于區域時點住宅地價分布來說，其局部異?？赡軄碜运w、綠色空間、顯著隔斷物(如長江、封閉交通走廊)等特殊地理環境要素的差異影響[34-37]，在中國城市快速發展和城市內部地價并不平穩的現階段，是一個值得特別關注的課題，對地價評定和城市規劃等均會產生重大影響，但是截至目前，這方面研究的報道較少。當然，這也是一項非常具有挑戰性的工作，其主要原因是地價場是多種作用疊加的表現，而多重分形插值方法在類似的特征和相似成因的地球化學場中得以成功運用并一直保持活躍[38-41]，是一種可以借鑒的方法，因此論文將其引入到地價場的研究當中[16]。

2 多重分形插值模型

多重分形主要運用于定義在幾何體上具有自相似或統計自相似的某種場，是單一分形在空間上的相互纏結[42-43]，可再現復雜分形在生長過程中不同層次的特征。多重分形通常是面對象或體對象中的一種測度（μ），如果這種度量具有空間自相似性或統計自相似性，那么這對象就可以被稱為多重分形。

在地價場的研究中，多重分形分布模型可以設定如下：假設從某城市內得到一批內涵一致的地價樣點，通過對這些樣點地價的插值可形成覆蓋城市的某種地價場網格數據。記每個網格內地價的平均值為ρ（ε），這里ε表示網格的大?。ㄈ缯叫尉W格的邊長），則第i個網格內的地價為：

如果地價在研究區內具有多重分形特征，那么地價值μi（ε）與網格大小ε之間將服從冪率關系：

這里∝表示當ε較小時μi與ε成正比，αi是某一有限指數（Local Holder Exponent）。由于每個網格中有對應α值，且不同 α值將對應一組網格，如果用 Nα（ε）表示在網格大小為ε時具有Holder指數α（即地價值為εα）的單元數，則：

明顯，f（α）相當于具有尺度μ為εα的區域的分形維數，即多重分形維數譜函數。

由Cheng提出的多重分形插值方法是將奇異性和空間相關性結合起來，不但可以度量局部奇異性，同時還考慮了空間相關性，在處理非奇異性測度時，Ordinary Kriging就成為這一方法的特定情形。其中空間相關指數（自相關，協方差和變異函數）主要是用來刻畫插值數據的空間相關性，往往是全局統計相關性。奇異性是另一個指數，它從多維分形的觀點來量化測度的尺度不變性特征，與傳統地統計方法相比，多重分形方法不僅能夠度量場的空間統計性質，而且可以刻劃不具備平穩性數據的局部奇異性規律[44]。人們常用半變異函數來測度空間相關性或變化性，如：

式4中，γ（x,h）是位置x和x+h的矢量距離h的函數，可以測度在Z（x）和Z（x+h）之間的均勻變化性。在二階平穩的假設條件下，半變異函數4就變成x位置的單獨的h的函數。這個區域隨機變量的假設條件在克里金方法中是普遍要求的。在多維分形中奇異性的內容主要是刻畫作為測度尺度變化性的統計行為是怎么變化的。例如，在某一位置計算其鄰域值的平均值可能和這些參與計算的值組成的區域面積大小是無關的。在其他情況下，這個平均值可能與其區域面積大小變化成比例。前者的情形我們可以稱其為非奇異位置，后者稱為奇異位置。采用多維分形模型，奇異指數α（x）是和在位置x周圍線性大小ε，Ω（x，ε）小范圍內定義的測度相關的。如：

其中c是常數。在2-D的數據中，μ（ε）可以定義為在大小為ε的面積內的金屬量。在沒有一般性的失真情況下，密度函數 ρ（ε）如：

式6中，E是鄰域Ω（x，ε）的維數（E=2就表示2-D圖）。對于2-D的問題，可以選擇圓形或正方形來表示鄰域的范圍。奇異值α的范圍從αmin到αmax。可以通過在雙對數值做μ（ε）和ε的圖解，并用最小二乘法擬合成一條直線，其斜率就是估計的指數α的值。估計誤差也可以用最小二乘法擬合求得。從式6求得的奇異指數有以下特征[45]：（1）當且僅當 α=E 時，ρ（ε）=常數，與鄰域 ε的大小無關。（2）當且僅當 α＜E 時，ρ（ε）∝εα-E是關于 ε的減函數，通常表示在位置x的μ（ε）的圖形具有“凸”的特征。（3）當且僅當α＞E時，ρ（ε）∝εα-E是關于ε的增函數，表示在位置x的μ（ε）的圖形具有“凹”的特征。

第二和第三種的情況與有奇異特征的情形是相應的，即當ε→0時，ρ（ε）→∞或ρ（ε）→0。當ρ（ε）→∞時，就表示在小面積內（ε較?。┯幸粋€高密度的物質富集異常。

式6表明在給定的位置x的密度函數服從尺度單元（矩形的大小ε）的冪率關系式。指數α（x）-E刻畫了函數的局部奇異性—隨著尺度單元的減小函數是怎樣變化的。在有奇異性位置，α（x）≠E，密度隨著尺度單元的變化而變化。在這種情況下，常數c成為一個與尺度單元無關的很有用的量，可以看作是密度ρ（ε）在α（x）-E維空間的測度，而不再是奇異值。在非奇異位置，c的值就成為普通的密度值，因此，用定量的c替代ρ（ε）。

為了得出綜合空間相關性和奇異性的新的插值關系式，可以在2-D的地價分布小區域內，任意選擇鄰域Ω（x0，ε）。引入符號Z（ε）來表示在Ω（x0，ε）中的x位置處地價的平均值。Z（ε）是具有普通單位的一種密度測度類型。用Z（ε）替代式6中的ρ（ε）就可以得到：

在x位置可以用關于變量ε的若干Z（ε）來計算常量c（x）。如前面論述的，新的密度量c（x）成為一個非奇異的量?？梢詷嫿ㄒ粋€在位置的中心和它們的鄰域值之間密度值的關系式如下：

式8中，c（x0）和c（xi）分別是在位置x0和xi用式3求得的密度值，λi（‖xi-x0‖）是確定的加權因子，∑λi（‖xi-x0‖）=1。λ的值可以用反距離加權或克里金方法求得。這里將給出一個新的插值模型并與普通模型相比較。選定一個分辨率ε*（ε*≤ε），用插值法作圖，鄰域大小為ε*（插值圖的象素）內的平均值Z（ε*），可以用在鄰域中心位置的實際觀測值Zx代替，這個Zx值是與計算值c（x）ε*α（x）-E相關的。用地價的實際觀測值代替密度值c得到：

式10是一個廣義的加權平均模型，可以從Ω（x0，ε）內中鄰域值（Zxi）中計算在Ω（x0，ε）中間位置的值（Zx0），具有以下的特征：（1）如果整個數據集都沒有顯示出奇異性，即α≡E，那么式7和式10就是等同的，而且和在克里金中普遍使用的普通滑動平均函數以及其他數據插值方法是一樣的。（2）如果所有的鄰域值都顯示出同樣的奇異強度，即α=常數，那么式10就變成與在克里金中普遍使用的普通滑動平均函數以及其他數據插值方法是一樣的函數關系式。（3）如果鄰域的值是非奇異性的，而且在其中心位置沒有值，即α（x0）≠E且α（xi）=E，那么式10就等于普通的滑動平均函數與因子εa（x0）-E的乘積：

因子εa（x0）-E修正了普通滑動平均的結果，例如，如果α（x0）＜E，那么在給定的較小的ε條件下，新的結果將通過因子εa（x0）-E而增大，如果α（x0）＞E，那么新的結果會通過因子εa（x0）-E而減小。這樣的修正是合理的，因為α＜E和α＞E分別對應的是在位置x周圍的面Zx的凸和凹的特征。新的模型9不僅包括反映加權值λ計算結果的空間相關性還包括綜合了用奇異指數α刻畫的奇異性。很顯然，普通的加權平均方法（在IDW和克里格方法中使用的）是式10中表達的特殊情況。因此，可看出該模型有兩個明顯的優點：不僅僅提高插值結果的精確度而且還保留了插值圖形的局部特征。該模型在地球化學和地球物理數據處理和模式識別上已得到成功應用[45]。為此，下文將其用于地價數據的試驗研究。

3 實證研究

3.1 研究區概況

武漢市地處華中腹地，位于江漢平原東部，長江、漢水交匯處。地理位置為東經113°41′—115°05′，北緯29°58′—31°22′。武漢市市區被長江、漢水分割形成武昌、漢口和漢陽三個部分。武漢市是湖北省省會，既是中部崛起戰略的支點，也是連接中國東西南北的中樞，同時還是國家進行資源節約型和環境友好型社會試點建設——武漢城市圈的核心區?？紤]武漢市城區土地市場及地價樣點的分布情況，本次研究區域為三環線范圍內武漢市主城區。研究區內湖泊、長江等自然隔斷物與居住區交錯分布，其對地價分布均有明顯影響。隨著城市社會經濟發展和土地使用制度的改革，特別是土地使用權招標拍賣掛牌的全面推進，房地產業以及其他相關產業的繁榮，武漢市商業、住宅和其他產業用地價格近年來出現不同程度的變化。招標拍賣掛牌的商業、住宅價格不斷上漲。據武漢市地價監測報告顯示，住宅用地地價從2005年到2007年的年均增長率為6.05%，6.15%，7.35%，因此該研究區具有典型的試驗研究意義。

3.2 地價樣點信息獲取及預處理

本文考慮樣點分布密度及價格特征等問題，擬選擇其中較具代表性住宅用地地價場進行研究，筆者收集了2006年基準地價更新的樣點數據和2007年地價監測樣點數據共計3460個，其樣點類型包括土地使用權出讓、新舊住宅買賣以及住宅出租。因為這些數據來自不同的觀測時點和不同的調查人，在進行分析之前需要根據樣點的屬性進行包括樣點地價的計算、樣點地價修正、樣點地價檢驗剔除等工作。首先需要根據城鎮土地估價規程所規定的常規方法和相關標準逐一進行每個時點樣點價格計算，其次將樣點價格統一修正到研究所確定內涵下的期日價格（2007年1月1日，其余內涵略），在剔除由于調查數據錯誤引起的明顯不合理樣點后，將其余樣點地價標注于基礎底圖上，并在ArcGIS 9.3中建立樣點的空間位置和修正價格等屬性數據庫。

3.3 樣點地價統計檢驗

根據研究區數據統計分析顯示，城市地價數據主體部分服從近似對數正態分布（圖1），然而，圖中兩端數據顯著偏離對數正態分布。而且，杜國明等在呼和浩特市的商業用地研究以及王霞和朱道林在北京市的住宅用地研究中都得到類似的統計規律[28，30]。這與地球化學數據研究中出現的情況類似，前人認為該類型數據具有多重分形分布，即大多數數據具有正態或者對數正態分布，而兩端數據服從分形分布[39]。只有數據服從正態或對數正態分布和平穩性，才能有效利用地質統計學方法，否則對兩端數據的插值結果將出現偏差。通過尋找這些地價樣點在空間上分布以及對比其周邊的樣點地價值，發現地價樣點數據存在局部奇異性，這也就是多重分形插值方法的應用前提。從這個角度上來說，引入多重分形插值方法來度量地價場分布是有優勢的，可以克服傳統Kriging地統計學方法對局部異常的光滑效應，能更好地突出地價分布的局部奇異性[46]。

3.4 結果與分析

空間插值模型參數的選擇對插值結果是有顯著影響的，經過多次實驗表明：選擇窗口算法、半窗體為2.0，衰減系數1.0為該試驗數據最有效插值效果參數，其插值結果圖如圖2（封三）所示。簡單直觀對比圖2和2007年武漢市基準地價分布圖，兩者總體趨勢是比較吻合的。本文為進一步詳細說明其預測結果的精度，將從三個方面進行插值結果檢驗分析。

首先利用統計參數檢驗插值精度。為檢驗該方法的有效性，在已有樣點中通過交叉驗證隨機選擇10%的樣點作為評價數據點，對其余樣點進行空間插值，得到評價數據點的插值后預測值，將評價數據點的實際值與插值預測值進行對比分析。比較的單變量統計值包括：平均值、標準差、最大最小值、偏度系數、峰度系數。結果可以看出：（1）從均值和標準差上看,兩者差別不大；（2）從最大、最小值看，插值結果接近實際值，說明其變化的范圍和實際值比較接近，能較好地反映實際地價；（3）從偏度系數和峰度系數結果來看，實際值，Multifractal插值結果均較大幅度偏離正態分布，這是有意義的，因為這種數據本身并不滿足正態分布，插值結果也不應該滿足正態分布。

圖1 2007年武漢市住宅地價樣點QQ分布圖Fig.1 The Q-Q plot of residential land price from sam ples in 2007

其次，從實際的檢驗樣點和插值預測值的對應統計數據關系分析其插值結果。通過分析在一定偏差范圍內插值結果所對應的檢驗樣點個數以及所占檢驗樣點總數的比例，數據顯示使用該方法可獲得較為滿意的插值結果，如10%偏差百分比范圍內占將近40%，20%偏差百分比范圍內占63%，35%偏差百分比范圍內占83%，可見針對住宅樣點地價數據，使用多重分形插值得到的模型精度是有效的。

再次，利用奇異值樣點的空間對應關系證明其對突出地價局部異常的有效性。在圖2（封三）中，圖中所標注的奇異樣點與圖1中兩端偏離樣點一一對應，而圖2中的奇異樣點分布與插值結果圖是吻合的，比如圖中標注武漢市“東湖天下”樓盤一度成為該片區樓王，而該區域地價異常高的主要原因就是東湖水域的影響，這種由于特殊地物造成的地價出現局部奇異值是經常會遇見的且不容易被度量，插值結果顯示其與實際完全吻合，這說明多重分形插值不僅僅具有較高的插值結果精確度，而且還保留了插值對象的局部特征，后者是識別地價異常信息的基礎，這對于分析地價變化的原因是非常有意義的。此外，如果整個數據集都比較平均，沒有顯示出奇異性，這時普通的滑動平均方法可以看作是多重分形插值的特殊情況。從實際的分析來看，對于樣點地價這種具有奇異性特征的插值對象來說，多重分形插值方法能有效地表達其分布。

4 結論與討論

（1）從樣點地價的統計特征圖來看，城市地價數據主體部分服從近似對數正態分布，兩端數據顯著偏離對數正態分布，前人認為該類型數據具有多重分形分布，即大多數數據具有正態或者對數正態分布，而兩端數據服從分形分布，這是有效應用多重分形方法構建城市地價場的前提。（2）從理論上來說，多重分形插值方法不僅僅可以提高插值結果的精確度，而且還保留了插值圖形的局部特征，而這正符合研究具有空間局部奇異性地價分布的需要，具有廣闊的應用前景。（3）通過交叉驗證及空間對應關系實證分析，研究發現插值結果有效地表達了武漢市主城區住宅地價空間分布，能夠很好地突出由于實際自然地物造成的地價奇異性分布特征，彌補了滑動平均方法構建城市地價場的不足，為社會經濟領域類似數據空間場構建提供參考。（4）文中只選擇住宅地價場進行實證研究，可能會有一些偏差，針對不同城市區域、不同用途地價場的構建效果研究還有待進一步深入。此外，開展與其他各類方法插值結果的詳細對比研究將是下一步研究的方向。

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Developing Urban Land Price Field Using M ulti-fractal M ethod

HU Shou-geng1,CHENG Qiu-ming1,2
（1.Faculty of Earth Resources,China University of Geosciences,Wuhan 430074,China;2.State Laboratory of Geological Processes and Mineral Resources,Wuhan 430074,China）

The purpose of this paper was to explore amulti-fractalmethod to characterize urban land price field for its spatial distribution in the context of that the conventional interpolation method inevitably smoothed the data set and concealed the realities of local anomaly information.Multi-fractal interpolation model was employed in the paper.The results indicated that 1）themain parts of urban land price data were approximately lognormal distribution.Both ends of the data significantly deviated from the lognormal distribution,which was the precondition for applying the multi-fractal method to characterize urban land price distribution;2）the interpolation result not only effectively characterized the spatial distribution of urban residential land price,but also actively measured the singularity of the land price distribution.Itwas concluded thatmulti-fractal interpolation method could make up for the disadvantage of average smoothing method,which could highlight the local singularity information of land price distribution.This method could be used as references for characterizing the spatial distribution of similar socio-economic data.

land information;land price field;multi-fractal;local singularity

F293.2

A

1001-8158（2012）01-0038-07

2011-04-30

2011-12-07

國家自然科學基金青年基金項目“基于多重分形理論的城市住宅地價場演化特征及其局部異常信息識別”（41101535）。

胡守庚（1978-），男，浙江慶元人，博士，講師。主要研究方向為土地資源調查評價、土地信息科學。E-mail:husg2009@gmail.com

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