三個相似三角形在教學中的作用初探

盧健康

(西北工業大學電工實驗教學中心，陜西西安 710072)

0 引言

在“電工技術”中，正弦交流電路的內容無疑是最重要的一章，因為無論從理論體系還是從工程實際來講，它都是電路分析的核心內容。而其中的RLC串聯電路分析一節，則是該章的重點，可謂重中之重。該節中引出的(復)阻抗的概念，是正弦電路中最重要的概念。它不僅是描述正弦電路中任何負載元件的最基本相量模型(因為R、L、C單一元件或是RL、RC、LC這樣的串聯組合也都可用阻抗描述)，而且是任一無源線性二端網絡化簡到最簡時的電路模型。作為這一節內容分析的結果，即一個阻抗上各個元件參數的關系、各部分電壓電流關系及其功率關系，最后都簡潔直觀地濃縮在了阻抗三角形、電壓三角形、功率三角形(以下簡稱其為“三個相似三角形”)之中。因而這三個相似三角形可謂正弦電路內容中最精彩的妙筆!然而，一般“電工技術”教材中在引出這三個相似三角形后，通常只是點出了它具有便于記憶和分析的作用，而未對其做進一步討論。筆者在教學實踐中發現，如果教師不加以強調，學生一般對它也不夠重視。有鑒于此，本文對它做一些初步探討，研究如何具體利用它分析求解電路，以便更好地用它指導學生總結該章內容和求解各種正弦電路習題。

1 三個相似三角形的圖形公式描述

在RLC串聯電路中，以電流為參考相量，并且規定該電路中的每個元件R、L、C上的電壓及總電壓的正方向均與電流正方向一致，則描述該電路的三個直角相似三角形如圖1所示。下面給出其數學公式的表述。

阻抗三角形:

電壓三角形:

功率三角形:

圖1 阻抗三角形，電壓三角形，功率三角形

三個相似三角形間關系用以下三個公式表述。

(1)阻抗三角形與電壓三角形間的關系式為:

式(4)即相量形式的歐姆定律，它是分析正弦電路的最重要定律。

(2)功率三角形與電壓三角形間的關系式:

(3)根據(4)式與(5)式即可推得功率三角形與阻抗三角形之間的關系式為

圖1所示的三個相似三角形存在的缺陷是不能反映出阻抗Z中是否包含有電感與電容兩種儲能元件。如果阻抗Z中包含有這兩種儲能元件，則三個相似三角形只表示出了電抗(感抗與容抗之差)、電抗上的電壓(電感端電壓與電容端電壓之差)和電路中的總無功功率(電感上的無功功率與電容上的無功功率之代數和)。因此，為了能全面表述阻抗Z中各個元件參數和各部分電壓與電流及三種功率，還須補充以下幾個公式。

其中，XL=ωL=2πfL，XC=1/ωL=1/2πfC

2 圖1蘊含的計算公式與解題方法

如上所述，圖1簡潔直觀地用復平面上三個相似的直角三角形，全面反映了RLC串聯電路中的各個物理量和參數間的各種關系式，而學生在中學對這樣的三角形的邊角關系及其相關三角函數知識已經非常熟悉，再加上中學已經學過復數知識，因此，在講授了RLC串聯電路的各種電工學概念和定律之后，應該充分挖掘和利用圖1中所蘊含的電路分析知識和學生中學所打下的知識基礎，以便有效地指導學生掌握求解正弦電路計算題的多種方法。下面對此做詳細分析。

圖1的三個相似三角形共有9條邊與9個角，但只有一個角(圖中取為φ)能夠為獨立變量，再加上三個相似三角形對應邊的比值，共包含有11個獨立變量。它們的大小分別代表RLC串聯電路中的R、X、|Z|、UR、UX、U、P、Q、S、φ 和 I這 11 個物理量(電壓三角形中箭頭的方向還表示了電壓相量的初相位)。如果電路中包含L和C兩種儲能元件，則尚缺(7) ～(9)式中的 XL、XC、UL、UC、QL和 QC這 6個物理量。上述17個量加上角頻率ω共18個量，就是對RLC串聯電路進行正弦穩態分析的全部物理量。分析求解線性正弦穩態電路的計算題，不外乎就是已知或給定阻抗(本文不考慮導納)上的某些量而求出其他部分或全部的量(有時還需根據相量求瞬時值，本文從略)。

下面先列出圖1所蘊含的各個物理量間的關系式，即解題所需的計算公式。

每個三角形的各條邊之間的平方和關系式:

阻抗角和各條邊之間的三角函數關系:

三個三角形兩兩相似，它們的各條對應邊成比例，比值等于電流有效值或其平方:

根據(14)～(16)式與(4)式還可以導出把三個三角形中的對應邊聯系在一起的三個常用公式:

考慮到上述(10)～(17)式中每個等號即反映出一個獨立的關系式，那么圖1中就蘊含了24個關系式。如此眾多的公式既不便于記憶也不便于在解題時迅速從中選出合適的公式套用。但熟記圖1卻容易得多。

3 計算題的進一步分析

如何根據圖1來快速準確地分析求解計算題，下面根據平面幾何的三角形與三角函數知識，做進一步分析(以下假設已知角頻率ω，實際中一般也是如此)。

1)圖1中的任一三角形可由其3條邊和角φ(或其補角)這4個量中的任意兩個量唯一決定。由此可知，如果計算題中的已知量和待求量局限于圖1的一個三角形內，則必須已知全部4個量中的兩個量。每個三角形已知量和待求量的不同組合共有6種。如果已知兩條邊求第三條邊，用3條邊長間的平方和關系式來求較為簡單，通過三角函數關系式計算比較繁瑣。其他組合情況下只能用三角函數關系式來計算待求量。

2)如果已知量和待求量不在一個三角形內，則必然涉及兩個或三個三角。則至少必須已知上述全部11個物理量中的三個量，且三個量不能都全部屬于一個三角形，這樣才有可能確定第2個或第3個三角形。

3)為了用最便捷方法求出待求量，需要先把所有待求量按其在圖1中的地位分成如下4類，然后針對其特點選取最合適的計算方法。

(1)電流有效值I，它未顯示在圖1中，是由相似關系間接表示出來的量。它是電路分析中最重要的物理量。只能用兩個對應邊的比值來求出它。

(2)阻抗角φ，它是直接顯示出來的唯一一個為各三角形共有的量。根據解題需要，可以把它劃歸到任一三角形內。求φ的唯一方法是用一個三角形內的兩條邊之比求出相應的三角函數值，，然后再用反三角函數求出它。

(3) 直接顯示出來的 9條邊:R、X、|Z|、UR、UX、U、P、Q、S。求它們中的任一個量的步驟是:

①如果已知I和該待求邊的對應邊，將對應邊與I或I2相乘或除即可;否則，轉下一步;

②如果已知與其對應的另外兩個三角形的兩條邊，用(11)～(13)式的對應關系來求;

③如果已知φ或其三角函數值與本三角形內的任一條邊，用三角函數關系來求;

④如果已知本三角形內的另外兩條邊，用平方和關系式來求。

上述4步中，每一步都要求已知至少一條邊，如果直接求待求量時不滿足這個條件，就必須間接地來求它，即，先用上述4步中的某一步求出某個邊做為中間量，然后再根據已知量與中間量求出待求量。

(4) 未包含在圖1 中的量 XL、XC、UL、UC、QL和QC。如果阻抗Z中包含有兩種儲能元件L和C，則這6個量并未包含在圖1中。它們可分為L組三個量和C組三個量。如果已知角頻率和待求量所在組的元件參數L或C，則求法很簡單。否則，必須已知角頻率與另一組的元件參數，或者已知另一組三個量中的一個才行。在這種情況下，先利用上述方法求出與待求量單位相同的某個豎直邊(X、UX或Q)，然后用(7)～(9)式求出待求量。

以上詳述了阻抗Z的電路分析中全部17個量的快捷求解方法。盡管敘述起來篇幅不少，但只要對照圖1，理清其中的思路，在解題時是很容易想到和做到的，因為選擇這些方法的依據只是簡單的三角學知識而已。

4 三角形圖在后續擴展性教學的應用

利用所講述的圖1內容與解題方法，還可精簡RLC串聯電路內容后面的部分擴展性內容的講授以節約課時。例如，串聯諧振可以不詳細講解，因為它只是RLC串聯電路當的一種特殊工作狀態。此時，由于，三個相似三角形蛻變為重疊在一起的三條水平直線段，分別表示R、P和UR。在給出其 的定義后，可以讓學生自己根據圖1及其蛻變成的三條水平直線段，分析得出其諧振頻率、電路特征。即確定9 條邊和 6 個未顯示量 XL、XC、UL、UC、QL、QC共15個量特定值與特殊關系，|Z|與I取最大值還是最小值等特征。

在講授并聯電容提高感性負載功率因數的內容時，通常給定ω、U、P和并聯電容前后的功率因數cosφ1與cosφ2，求需要并聯的電容值C。一般教材中對此的分析求解比較繁瑣，也可以用圖1來作如下的簡化分析。

將未并聯電容的電路視為阻抗Z1，并聯電容后的電路等效為Z2。則Z2與Z1的無功功率之差就是電容提供的無功功率，即:

根據功率三角形的三角函數關系可知:

所以，由式(18)～(20)很容易得出:

如果取(19)式中的 ，電路就成為R、L串聯后與C并聯的諧振電路，當R、L串聯電路表示一個電感線圈時，它就是教材中講的電路。由于此時 ，根據(18)式可知Q1=－QC，因為Z1由R與L串聯而成，所以根據圖1很容易得出:

再根據(20)式和，即可得出求并聯諧振的諧振頻率的公式

可見，這里借助圖1和并聯諧振時電線圈與電容并聯諧振容與電感的無功功率完全互補的觀點分析得出公式(23)的過程要比一般教材中的分析推導簡單了不少。

4 結語

本文指出了“電工技術”中RLC串聯的正弦電路一節所給出的三個相似三角形在教學中的特殊地位與作用，簡述了其圖形與對應的公式，然后列出了三個相似三角形中蘊含的全部計算公式，詳細分析了如何用它來指導求解關于阻抗Z的各種計算題目。最后介紹了如何利用它精簡串聯諧振、線圈與電容并聯諧振和并聯電容提高感性負載功率因數等擴展性教學內容的講授。

［1］ 秦曾煌主編.電工學上冊電工技術(第五版)［M］.北京:高等教育出版社.1999

［2］ 史儀凱主編.電工技術(電工學Ⅰ)(第二版)［M］.北京:科學出版社.2008