三角變換與解三角形考情調研

☉廣西灌陽縣第二高級中學 翟輝亮

三角變換與解三角形考情調研

☉廣西灌陽縣第二高級中學 翟輝亮

一、考綱透析

1.會用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式.

2.能利用兩角差的余弦公式導出兩角差的正弦、正切公式.

3.能利用兩角差的余弦公式導出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯系.

4.能運用和與差、二倍角的三角函數公式進行簡單的恒等變換（包括導出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶）.

5.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.

6.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些測量和幾何計算有關的實際問題.

二、考向探析

1.三角變換及求值

考情聚焦：①利用兩角和、差的三角函數公式進行三角變換、求值，是高考必考內容；②該類問題出題背景選擇面廣，解答題中易出現與新知識的交匯題；③該類題目在選擇、填空、解答題中都有可能出現，屬中、低檔題.

考向鏈接：1.在涉及兩角和與差的三角函數公式的應用時，常用到如下變形：

2.利用兩角和與差的三角函數公式可解決求值、求角問題，常見有以下三種類型：

（1）“給角求值”，即在不查表的前提下，通過三角恒等變換求三角函數式的值；

（2）“給值求值”，即給出一些三角函數值，求與之有關的其他三角函數式的值；

（3）“給值求角”，即給出三角函數值，求符合條件的角.

2.正、余弦定理的應用

考情聚焦：①利用正、余弦定理解決涉及三角形的問題，在近三年新課標高考中都有出現，預計將會成為今后高考的一個熱點；②該類問題多數是以三角形或其他平面圖形為背景，考查正、余弦定理及三角函數的化簡與證明；③多以解答題的形式出現，有時也在選擇、填空題中出現.

考向鏈接：①在三角形中考查三角函數式變換，是近幾年高考的熱點，它是在新的載體上進行的三角變換，因此要時刻注意它的重要性：一是作為三角形問題，它必然要用到三角形的內角和定理，正、余弦定理及有關三角形的性質，及時進行邊角轉化，有利于發現解決問題的思路；其二，它畢竟是三角變換，只是角的范圍受到了限制，因此常見的三角變換方法和原則都是適用的，注意“三統一”，即“統一角、統一函數、統一結構”，是使問題獲得解決的突破口.

②在解三角形時，三角形內角的正弦值一定為正，但該角不一定是銳角，也可能為鈍角（或直角），這往往造成有兩解，應注意分類討論，但若三角形內角的余弦值為正，該角一定為銳角，且有唯一解.因此，在解三角形中，若有求角問題，應盡量避免求正弦值.

溫馨提示：

（1）利用正弦定理，實現角的正弦化為邊時只能是用a替換sinA，用b替換sinB，用c替換sinC.sinA、sinB、sinC的次數要相等，各項要同時替換，反之，用角的正弦替換邊時也要這樣，不能只替換一部分.

（2）以三角形為背景的題目，要注意三角形的內角和定理的使用.