解析幾何中對稱問題的認(rèn)識與探索

☉湖北省當(dāng)陽市河溶高級中學(xué) 劉 勇

解析幾何中對稱問題的認(rèn)識與探索

☉湖北省當(dāng)陽市河溶高級中學(xué) 劉 勇

對稱問題是高中數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，也是平時學(xué)習(xí)的難點.它的運用非常廣泛，不僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識上，有時還會滲透到物理應(yīng)用中去.對稱問題的題型主要體現(xiàn)在點關(guān)于點對稱，直線關(guān)于點對稱，點關(guān)于直線對稱，直線關(guān)于直線對稱，曲線關(guān)于點對稱，曲線關(guān)于直線對稱幾個方面.下面我們舉例說明.

一、點關(guān)于點對稱

點關(guān)于點對稱是大家比較常見的對稱問題，也是最簡單的對稱問題.關(guān)于原點對稱可以通過坐標(biāo)系得出，關(guān)于一般點對稱我們可采用中點公式求出對稱點坐標(biāo).

例1 設(shè)點M（2，4），求點M關(guān)于點P（-1，2）對稱的點N的坐標(biāo).

分析：P點不是坐標(biāo)原點，要求出N點坐標(biāo)必須利用中點坐標(biāo)公式.若M（x1，x2），P（x0，y0），則N（2x0-x1，2y0-y1）.

解：點M（2，4），點P（-1，2），由中點坐標(biāo)公式可得N（-4，0）.

二、直線關(guān)于點對稱

直線關(guān)于點對稱通常轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點對稱.在直線上取出兩個特殊點，然后求出兩對稱點可確定直線方程.在解題過程中我們發(fā)現(xiàn)直線關(guān)于點的對稱直線和原直線是平行的，這樣我們解決此類問題還可設(shè)平行直線系，再將一個對稱點坐標(biāo)代入即可求出.

例2 求直線2x+5y+6=0關(guān)于點（2，3）對稱的直線方程.

分析：可設(shè)直線系方程，再代入一個特殊點，就可以確定直線方程了.

解：設(shè)對稱直線方程為：2x+5y+c=0.在直線上取任意一點（-3，0），則（-3，0）關(guān)于點（2，3）的對稱點的坐標(biāo)為（7，6）.將點（7，6）代入方程2x+5y+c=0，得c=-44.故所求直線方程為：2x+5y-44=0.

三、點關(guān)于直線對稱

在坐標(biāo)系中我們?nèi)菀子^察出點關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱點，點關(guān)于特殊直線y=x的對稱點.但如果面對一般直線的對稱問題時，如假設(shè)已知點的坐標(biāo)是A（x0，y0），已知直線方程（非坐標(biāo)軸直線）是y=kx+b，求點A關(guān)于已知直線y=kx+b的對稱點B的坐標(biāo).解決此類問題就要抓住兩點：①兩點所在直線與已知直線垂直，②兩點的中點在已知直線上.只有抓住以上兩點并且能夠熟練運用才能解決此類題目.直線y=kx+b必垂直平分線段AB，線段AB的中點在直線y=kx+b上，再根據(jù)兩直線垂直的關(guān)系：斜率的乘積等于-1，即可求出對稱點坐標(biāo).

例3 求點P（-1，2）關(guān)于直線l：2x+y+1=0的對稱點P′的坐標(biāo).

分析：本題關(guān)鍵是抓住“垂直”、“中點”這兩點.

三、直線關(guān)于直線對稱

直線關(guān)于直線的對稱是以點關(guān)于直線的對稱為基礎(chǔ)的，其求解方法和點關(guān)于直線的對稱相同.但是直線關(guān)于直線的對稱問題中，兩直線的位置關(guān)系有兩種不同的情況：兩直線平行，兩直線相交.當(dāng)兩直線平行時，通常設(shè)平行直線系方程，然后通過兩組平行線間的距離相等求出直線方程.當(dāng)兩直線相交時，解決此類問題的方法很多，主要有：特殊值法，交點法，動點代入法等.為了方便，我們通常采用取交點的方法.下面我們以相交直線為例.

例4 求直線m：2x+y-4=0關(guān)于直線l：3x+4y-1=0的對稱直線n的方程.

分析：先求出直線2x+y-4=0和直線3x+4y-1=0的交點，再從直線2x+y-4=0上取一個特殊點，求出它關(guān)于直線l：3x+4y-1=0的對稱點即可.

化簡可得2x+11y+16=0.

四、曲線關(guān)于點、關(guān)于直線對稱

對于曲線關(guān)于直線對稱，我們通常采用的方法是在曲線上取一個任意點，用這點來表示直線的對稱點坐標(biāo)，再根據(jù)點在曲線上，我們可以求出對稱曲線的方程.曲線關(guān)于點對稱，我們也可以采用同樣的方法.這里不加以舉例.

例5 求曲線x2-y2=1關(guān)于直線x-y+2=0的對稱曲線.

分析：在曲線x2-y2=1上取任意一點P（x0，y0），把點P關(guān)于x-y+2=0的對稱點Q用點P表示，再代入曲線方程即可.

解：設(shè)曲線x2-y2=1上任意一點P（x0，y0），P點關(guān)于x-y+2=0的對稱點為Q（x，y）.

總之，對稱問題是高中數(shù)學(xué)的一個重要知識點，它涉及的知識領(lǐng)域廣，題型多.我們解決此類問題，首先是要把握對稱問題的實質(zhì)，分清題型，選準(zhǔn)方法，這樣才能達(dá)到事半功倍的效果.