圓與方程探索題的類型及其解法

☉江蘇省丹陽高級(jí)中學(xué) 章建民

圓與方程探索題的類型及其解法

☉江蘇省丹陽高級(jí)中學(xué) 章建民

圓與方程問題中的探索題，是指命題中缺少一定的條件或未給出明確的結(jié)論，需要經(jīng)過推斷、補(bǔ)充并加以證明的問題.由于這類問題的知識(shí)覆蓋面大，綜合性強(qiáng)，方法靈活，再加上題意新穎，要求學(xué)生具有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和較高的數(shù)學(xué)能力，從而使圓與方程探索題成為各種考試的常見題型.

一、條件探索題

條件探索題，即給出問題的結(jié)論，但沒有給出題目的條件，或者給出一部分條件，要求給出或補(bǔ)充使問題結(jié)論成立的條件.解這類題采取的策略是執(zhí)果索因，首先要從結(jié)論出發(fā)，考慮結(jié)論成立時(shí)所要滿足的條件，再結(jié)合圖形及其性質(zhì)逆向推導(dǎo)，尋找出所求條件.

分析：根據(jù)題意可得函數(shù)的的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)等相關(guān)性質(zhì)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)與圓的關(guān)系求解.

說明 條件探索題不是由條件推出結(jié)論，而是“逆向思維”，因此解此類問題需要有扎實(shí)的基本功及靈活處理問題的能力.

二、結(jié)論探索型

結(jié)論探索題的基本特征是給出條件而無結(jié)論，或結(jié)論的正確與否需要確定.解此類題通常先假設(shè)其結(jié)論存在，再進(jìn)行計(jì)算、推理，如果推導(dǎo)出符合條件的結(jié)論，則表示結(jié)論存在；若推出矛盾的結(jié)果，則結(jié)論不存在.

例2 已知方程C：x2+y2-4xcosθ-4ysin2θ-4sin2θcos2θ=0，那么方程C所決定的每一個(gè)圓面是否都能把原點(diǎn)覆蓋住？試證明你的結(jié)論.

圖1

分析：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)題意，利用數(shù)形結(jié)合思想比較圓心到原點(diǎn)的距離與圓的半徑的關(guān)系.點(diǎn)覆蓋住，并說明理由，設(shè)問與傳統(tǒng)問題不同，對(duì)思維能力要求較高，突出了對(duì)探索、歸納、推理能力的考查.

三、存在探索型

存在探索題一般是在確定的條件下判斷某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象是否存在.解決這類問題的策略是先假設(shè)需要探索的對(duì)象存在，從條件和假設(shè)出發(fā)進(jìn)行運(yùn)算、推理，若出現(xiàn)矛盾，則否定存在；如果不出現(xiàn)矛盾，則肯定存在.

例3 已知兩曲線C1：x2+y2-y=0，C2：ax2+bxy+x=0.

（1）是否存在a、b，使C1與C2有兩個(gè)交點(diǎn)？

（2）是否存在a、b，使C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)？說明你的理由.

分析：（1）利用特殊值法求解；（2）由C2：ax2+bxy+x=0的意義，利用數(shù)形結(jié)合思想解決.

解（1）當(dāng)a=b=0時(shí)，C2的方程為x=0，顯然C1與C2有兩個(gè)交點(diǎn)O（0,0），A（0,1）.

（2）由（1）可知，當(dāng)a、b不全為0時(shí)，C2表示兩條直線l1：x=0和l2：ax+by+1=0，且l2不過原點(diǎn).若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，則只有以下兩種情況：

所以當(dāng)a≠0，b=-1，或b≠-1，a2=4b+4時(shí)，C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn).

說明 此題采用了先假設(shè)再求解的方法，即：假設(shè)存在——演繹推理——得出結(jié)論.第一問只問是否存在，我們給出了a=b=0滿足題意即可；而第二問則需要嚴(yán)格的推理.

圓與方程問題的探索題涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)較多，解題過程較復(fù)雜，沒有現(xiàn)成的解題套路.數(shù)學(xué)大師波利亞強(qiáng)調(diào)：“不斷地變換你的問題”，解題過程就是合理地“轉(zhuǎn)化”問題的過程.因此 ，在解題時(shí)，要求我們要合情合理地分析問題，把直覺發(fā)現(xiàn)與邏輯推理相結(jié)合，更應(yīng)該注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的綜合運(yùn)用.

說明 本題要求判斷滿足題意的每一個(gè)圓面是否都能把原