利用幾何畫板有效呈現和解決問題

●陳寒極 (慈溪中學 浙江慈溪 315300)

高中數學課程標準指出：高中數學課程應提倡利用信息技術來呈現以往教學中難以呈現的課程內容，盡可能使用科學型計算器、各種數學教育技術平臺，加強數學教學與信息技術的結合，鼓勵學生運用計算機、計算器等進行探索和發現.

而幾何畫板可以幫助我們解決一些問題.在日常教學中，結合幾何畫板的教學功能，在一些具體的教學環境下，教師可以很好地實現教學目標.以下筆者根據自己的經驗，談談幾何畫板在數學教學中的使用.

1 利用幾何畫板準確作出圖像

例1 如圖1，已知拋物線C：x2=4y.

(1)過焦點F且斜率為1的直線與拋物線相交于點C，D，求CD的長度.

(2)直線y=2與拋物線C相交于點M，N，點A，B在拋物線上.

①若∠BMN=∠AMN，求證：直線AB的斜率為定值;

圖1

高中學習的所有函數，基本上都可以通過幾何畫板解決，因此諸如此類的函數定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等問題，通過圖形都可以較為迅速地得到解決.

2 利用幾何畫板有效呈現問題

當解題沒有思路，當手工畫圖遇到困難時，幾何畫板可以指引我們正確的前進方向.

例2 如圖2，已知曲線C：y=x2與直線 l：xy+2=0 交于點 A(xA，yA)和 B(xB，yB)，且 xA＜ xB.記曲線C在點A和點B之間那一段L與線段AB所圍成的平面區域(含邊界)為D.設點P(s，t)是L上的任一點，且點P與點A，B均不重合.

(1)若點Q是線段AB的中點，試求線段PQ的中點M的軌跡方程;

(2009年廣東省數學高考理科試題)

圖2 圖3

例3 已知曲線C1：y=x3-3x，向右平移u個單位，向下平移v個單位，得到曲線C2，如果對任意u＞0，C2，C1至多只有一個交點，那么v的取值范圍為_______.

分析從代數角度看：方程

至多只有一個解，整理得

下面求y=-u3+12u(u＞0)的最大值，利用導數可得：當u=2時，ymax=16，注意到u＞0的任意性，得 v≥4.

從圖形角度看：利用幾何畫板作圖，設置參數并觀察圖形的變化，可得到答案.

步驟1 畫出C1：y=x3-3x的圖像，點擊“圖表”、“新建函數”、“繪制函數”.

步驟2 設置參數 u，v，畫出 y=(x-u)3-3(x-u)-v的圖像.

步驟3 生成參數的動畫，選擇“編輯——操作類按鈕”，分別設定參數u，v的變化范圍，在動畫中可得v的取值.

步驟4 這類問題的一般解法：找出2個極值點，求出它們差的絕對值，即v的最小值.

3 利用幾何畫板解決視覺易錯題

圖4

新活力滿足新需求。改革開放之初，我國社會處于閱讀嚴重匱乏的書荒年代。1977年我國出版圖書僅12886種，印數33.08億冊，發行網點6.4萬個。到2017年，圖書品種已達45萬種，總印數92億冊，圖書發行網點16萬個。[5]40年間新聞出版產品市場極大豐富，人民群眾的基本閱讀需求得了到較好滿足。

|AP|-|BP|≈|A1P|-|BP|=-4，即可得值域.

本題也可以通過導數求解，但解題的篇幅較大、過程繁瑣，有興趣的讀者不妨一試.

例5 平面上的點P∈{(x，y)|(x-2cosθ)2+(y-2sinθ)2=16(θ∈R)}，則滿足條件的點 P 在平面上所組成的圖形面積為 .

本題極易做出錯誤答案是36π，其正確答案是32π.下面通過幾何畫板尋找答案：如圖5，首先確定圓心位置，在圓x2+y2=4上取一個點，畫一條線段(長度為4)作為半徑，點擊“構造”、“以點和半徑繪圓”，然后點擊“追蹤圓”，選取小圓上的點，選擇“編輯——操作類按鈕”，逆時針方向繞圓 x2+y2=4以中速運動，然后“確定”，會出現一個動作按鈕，點擊這個動作按鈕就可以得到點的集合和它相對應的圖形，可以得到答案為36π-4π=32π.

為了更好地理解題意，可以作如下變式：

變式1 若 P∈{(x，y)|(x-2cosθ)2+(y-2sinθ)2=4(θ∈R)}，則滿足條件的點P在平面上所組成的圖形面積為_______.

圖5

變式2 若 P∈{(x，y)|(x-2cosθ)2+(y-2sinθ)2=25(θ∈R)}，則滿足條件的點 P在平面上所組成的圖形面積為_______.

變式3 若 P∈{(x，y)|(x-2cosθ)2+(y-2sinθ)2=1(θ∈R)，則滿足條件的點P在平面上所組成的圖形面積為_______.

4 利用迭代解決微積分近似求和問題

迭代是幾何畫板中一個很有趣的功能，它相當于程序設計的遞歸算法，通俗地講就是用自身的結構來描述自身.迭代：按一定的迭代規則，從原象到初象的反復映射過程.原象：產生迭代序列的初始對象，通常稱為“種子”.初象：原象經過一系列變換操作而得到的象，與原象是相對概念.

例6 一個正方形的迭代，得到一個無窮遞縮等比數列.

步驟 (1)畫點 A，B，利用旋轉變換得到正方形ABCD.

(2)在線段AB上取一點E，依次選擇點 A，B，E，點擊“變換——標記比例”;雙擊點B，以B為中心，選中點C，選擇“變換——縮放命令”，在BC線段上按照標記比例得到F.

(3)點擊 A，B，選擇“迭代”，A→E，B→F，選擇迭代次數(如8次)，得到迭代圖形(如圖6所示).

例7 人教版《數學》必修5第57頁例3及選修2-2曲邊梯形面積，采用“分割、近似代替、求和、取極限”的方法來理解定積分的概念.下面介紹采用幾何畫板進行迭代操作，進行動態理解(如圖7所示).

圖6

圖7

(1)執行“圖表”——“繪制新函數”命令，作出y=x2的圖像.

(2)在x軸上任意作2個點A，B.

(3)執行“圖表”——“新建參數”命令;打開“新建參數”對話框，輸入名稱“n”，值為“4.0”，單擊“確定”，畫板上出現參數式“n=4.00”.在參數式上右擊選“屬性”命令，打開“參數的屬性”對話框，在值的選取卡中設置其精確度為“單位”，單擊“確定”，參數式變成“n=4”.

(4)計算“n-1”，把其精確度設置為“單位”，得到“n-1=3”，計算“”，并設置其精確度為“十萬分之一”.

(7)依次選擇“n=4”、“A”和“n-1=3”，按住“shift”鍵，執行“變換——迭代”，打開“迭代”對話框，原象“n”的初象是“n-1”，原象 A的初象是B'，單擊“迭代”.這樣就可得到一系列矩形，用來逼近曲邊梯形的面積.選中表達式“n=4”，按數字鍵盤上“+”鍵，就能生成更多的矩形了.

通過位置A，B'的變化，及其迭代次數的變化，可以較好地理解微積分的基本思想：分割—近似代替—求和—取極限，隨著分割越來越細，所有矩形面積之和無限接近所求面積.

通過幾何畫板，我們可以準確地作出圖形，幫助教師更好地展現問題，也幫助學生更好地理解問題.通過動態的圖形變化，形象地尋找答案，從而在學生腦海中留下深刻的印象，同時也幫助教師和學生更好地理解題目的隱含背景，從而對該題進行有效的推廣，提高解題效率，以及更好地認識數學.

［1］ 徐章韜，梅全雄.超級畫板的程序vs幾何畫板的迭代［J］.數學通訊：教師版，2011(10)：41-46.