利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值（最值）的幾個(gè)特例

☉江蘇省連云港高級(jí)中學(xué) 高 原

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，作為一種工具，被引入到我們的新教材中.它的一個(gè)重要的作用就是求函數(shù)的極值（最值），但是在利用它求極值（最值）時(shí)，往往有很多的誤區(qū)，現(xiàn)總結(jié)如下.

特例1 設(shè)x0是函數(shù)y=f（x） 的極值點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）.

A.必有f′（x0）=0B.f′（x0）不存在

C.f′（x0）=0或f′（x0）不存在D.f′（x0）存在但可能不為0

答案：C

解析：函數(shù)f（x）=x3，f ′（x）=3x2，f ′（0）=3×02=0，但x∈（-∞，0）時(shí)，f′（x）＞0；x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，故盡管有f′（0）=0，但0不是函數(shù)的極值點(diǎn).

評(píng)注：x0是函數(shù)的極值點(diǎn)是f′（x0）=0的既不充分也不必要的條件，即x0是函數(shù)的極值點(diǎn)時(shí)，有f ′（x0）=0或f ′（x0）不存在；當(dāng)f ′（x0）=0時(shí)，x0也不一定是函數(shù)的極值點(diǎn).

特例2 設(shè)函數(shù)f（x）=（x3-1）2+1，下列結(jié)論正確的是（ ）.

A.x=1是函數(shù)的極小值點(diǎn)，x=0是極大值點(diǎn)

B.x=1及x=0均是函數(shù)的極大值點(diǎn)

C.x=1及x=0均是函數(shù)的極小值點(diǎn)

D.x=1是函數(shù)的極小值點(diǎn)，函數(shù)無極大值點(diǎn)

答案：D

解析：令f′（x）=6（x3-1）x2=0，解得x1=0，x2=1.列出表格如下：

即當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f′（x）＜0，x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0；x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，所以函數(shù)在x=1處取得極小值，無最大值.

評(píng)注：我們?cè)诶煤瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值時(shí)，一定要認(rèn)真觀察函數(shù)在各段上導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，從而準(zhǔn)確判斷各段上函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的極值和最值.

特例3 函數(shù)f（x）=x（x-1）（x-2）（x-3）…（x-50）在x=0點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為（ ）.

A.0 B.502C.100 D.50!

答案：D

（法二：導(dǎo)數(shù)的積運(yùn)算）f（x）=x·［（x-1）（x-2）…（x-50）］.

A.有最大值2，無最小值 B.無最大值，有最小值-2

C.最大值2，最小值-2 D.無最值

答案：C

當(dāng)x=0時(shí)，y=0，即-2≤y≤2，函數(shù)有最大值2，最小值-2.

誤解：列表如下：

x （-∞，-1） -1 （-1，1） 1 （1，+∞）y′ - 0 + 0 -y↘-2↗2↘

因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，則函數(shù)的圖像大致如圖1，

故函數(shù)無最值.

評(píng)注：要注意當(dāng)x→+∞，-∞時(shí)，函數(shù)的極限值，否則很容易認(rèn)為函數(shù)無最值.實(shí)際上函數(shù)在x→+∞，-∞時(shí)的函數(shù)值是介于-2到2之間的，所以函數(shù)有最大值2，最小值-2.