含有全稱量詞、存在量詞的不等式成立問題的轉化策略

☉湖北大學附屬中學 李 俊

函數的最值以及含參數的函數的單調性與不等式恒成立的結合一直是高考命題的熱點，特別是課改教材中引入了全稱量詞、存在量詞等知識點之后，這一熱點有持續高熱之勢.由于全稱量詞與存在量詞的差異，對不等式兩側函數最值的要求也體現出了差異，以下給出有關全稱量詞、存在量詞的不等式問題的轉化策略.

（1）?x1∈［m，n］，?x2∈［a，b］，（fx1）≥g（x）2成立，則（fx）min≥g（x）max；

（2）?x1∈［m，n］，?x2∈［a，b］，f（x1）≥g（x2）成立，則f（x）min≥g（x）min；

（3）?x1∈［m，n］，?x2∈［a，b］，f（x1）≥g（x2）成立，則f（x）max≥g（x）min；

（4）?x1∈［m，n］，?x2∈［a，b］，f（x1）≥g（x2）成立，則f（x）max≥g（x）max；

（5）?x0∈［m，n］，f（x0）≥g（x0）成立，則［f（x）－g（x）］min≥0；

（6）?x0∈［m，n］，f（x0）≥g（x0）成立，則［f（x）－g（x）］max≥0.

下面用一個例子來說明以上6種情況的處理.

所以g（x）在［1，e］上單調遞增.

綜合①②可知，滿足條件的a的范圍為［0，1］.