例談利用三次函數(shù)模型解決實際問題

☉江蘇省興化市戴南高級中學(xué) 趙亞兵

函數(shù)是每年高考的必考內(nèi)容之一，高考在利用函數(shù)模型處理實際問題方面的考查有上升趨勢，一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用是高考命題的常見題型.然而三次函數(shù)也已經(jīng)成為中學(xué)階段一個重要的函數(shù)，在高考和一些重大考試中頻繁出現(xiàn)有關(guān)它的單獨命題.我們通過對近幾年高考試題的分析發(fā)現(xiàn)：利用三次函數(shù)模型處理實際問題成為近年來高考命題的熱點之一，題目涉及的三次函數(shù)一般都是以其為載體，通過其性質(zhì)來解釋生活現(xiàn)象，主要涉及經(jīng)濟、環(huán)保、能源等社會領(lǐng)域.筆者以高考試題的解析來說明如何靈活運用三次函數(shù)的性質(zhì)和特點處理實際問題.

高中數(shù)學(xué)中由于導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的介入，使得研究函數(shù)的性質(zhì)變得簡捷、易懂，通過求導(dǎo)可以直接研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，其操作的步驟學(xué)生易掌握，判別的方法也不難.尤其是：當f（x）為三次函數(shù)時，通過求導(dǎo)得到的f′（x）為二次函數(shù)，且原函數(shù)的極值點就是二次函數(shù)的零點.同時利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在某一點P（x0，y0）處的切線的斜率k=f′（x0），可得到斜率k為關(guān)于x0的二次函數(shù).根據(jù)這些特點，一般三次函數(shù)問題，往往可通過求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或二次方程問題，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的基本知識及二次函數(shù)的性質(zhì)來解決.

性質(zhì)1：函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d（a≠0），若a＞0，當Δ≤0時，y=f（x）是增函數(shù)；

當Δ＞0時，其單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，x1］和［x2+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是［x1，x2］.

若a＜0，當Δ≤0時，y=f（x）是減函數(shù)；當Δ＞0時，其單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，x2］和［x1，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間是［x2，x1］.

性質(zhì)2： 函數(shù)（fx）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），x∈［m，n］，若x0∈［m，n］，且f（x0）=0，則：f（x）max=max{f（m），f（0），f（n）}；f（x）min=min{f（m），f（x0），f（n）}.

下面通過一道高考試題來說明利用三次函數(shù)性質(zhì)來處理實際問題.

（1）求a的值；

（2）若該商品的成品為3元/kg，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.

商場每日銷售該商品所獲得的利潤為：

f′（x）=10 ［（x-6）2+2（x-3）（x-6）］-30（x-4）（x-6）.令f′（x）=0，得x=4.

函數(shù)f（x）在（3，4）上單調(diào)遞增，在（4，6）上單調(diào)遞減.

當x=4時，函數(shù)f（x）取得最大值f（4）=42.

當銷售價格x=4時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，最大值為42元.

點評與反思：本題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)的單調(diào)性從而解決實際生活中的優(yōu)化問題.第二問中，商場每日銷售該商品所獲得的利潤=每日的銷售量×銷售該商品的單利潤，得出日銷售量的利潤函數(shù)為關(guān)于x的三次多項式函數(shù)，再用求導(dǎo)數(shù)的方法討論函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的極大值點，從而得出最大值對應(yīng)的x值.

總之，利用三次函數(shù)模型處理實際問題的關(guān)鍵是：先掌握三次函數(shù)的三條性質(zhì)，然后用導(dǎo)數(shù)作為工具來研究函數(shù)的單調(diào)性和極值.由于三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，因此，考查三次函數(shù)能把導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識和二次函數(shù)的問題巧妙地結(jié)合起來，具有一定的綜合性和很好的區(qū)分度，所以，全面認識三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，對于備戰(zhàn)高考意義重大，同時也有助于提高對知識系統(tǒng)性的理解水平，拓寬解題思路.