整體思想在解題中的應用

☉江蘇蘇州市南環中學校 楊 兵

數學中的“整體思想”是學生必須掌握的數學思想方法之一.整體思想方法就是指在研究問題時從整體出發，對問題的整體形式、結構、特征進行綜合分析、整體處理的思想方法.利用整體思想分析問題，往往可以找到最合理、最簡捷、最實用的解題方法，起到化難為易、化繁為簡的作用，提高解題效率.整體思想涉及的形式較多，這里主要對“整體觀察”“整體代入”“整體換元”“整體構造”在解題過程中的作用，結合初中畢業專題復習，從下面的例題中讓學生進一步掌握整體思想的解題技巧，從而提高學生的解題能力.

一、整體思想在因式分解中的應用

例1 把-7（2x-y）2+4（x+y）2-12（2x2+xy-y2）分解因式.

分析：本題中重點觀察后面的2x2+xy-y2，先分解成（2x-y）（x+y），然后把前面的（x+y）和（2x-y）看做兩個整體.

例2 把（x2+3x-2）（x2+3x-6）-32分解因式.

分析：先把（x2+3x）看成一個整體，然后展開，再次因式分解.

二、整體思想在解方程（組）中的應用

檢驗后得x=±1是原方程的根.

三、整體思想在求值中的應用

例5 已知x2-4x+3=0，求（x-1）2-2（1+x）的值.

分析：把x2-4x當做一個整體，把（x-1）2-2（1+x）展開，不需要利用方程求解出x的值，整體代入即可.

解：（x-1）2-2（1+x）

由x2-4x+3=0，得x2-4x=-3.

所以，原式=-3-1=-4.

分析：要分別計算出兩個三次根式的值比較困難，本題可將計算結果看做一個整體t.

兩邊三次方后得，t3+t-2=0，（t-1）（t2+t+2）=0.

因為t2+t+2＞0，所以t-1=0，所以t=1.

四、整體思想在求函數解析式時的應用

例7 已知ay+b與cx+d成正比例（a、b、c、d都是常數，且a≠0，c≠0），當x=2時，y=-1；當x=3時，y=1.求y與x之間的函數關系式.

解：設ay+b=k（cx+d）（k≠0），則ay=kcx+kd-b.

則所求的y與x之間的函數關系式是y=2x-5.

綜上所述，整體思想是中學數學的一種非常重要的思想與方法.在數學教學過程中，靈活利用整體思想，可以開拓學生的解題思路，強化化歸能力，提高學生的數學綜合素質.