勾股定理驗證方法賞析

☉湖北省仙桃市第四中學 張守文

勾股定理驗證方法賞析

☉湖北省仙桃市第四中學 張守文

同學們在學習了勾股定理的知識后，已經知道勾股定理是描述直角三角形三邊之間數量關系的一個重要定理，體現了數與形的和諧統一，是數形結合思想的典范.課本上已經進行了生動的驗證，下面再列舉幾種通俗易懂的驗證方法，供同學們參考.

方法一：旋轉法

用兩個全等的直角三角形紙板拼成如圖1（a），使兩條直角邊a、b在同一直線上.將△ABC繞著A點旋轉到△AFG的位置，△BDE繞著E點旋轉到△FHE的位置，由圖1（b）中不難看出：由以b為邊長的正方形與以a為邊長的正方形面積之和等于以c為邊長的正方形面積，從而得出a2+b2=c2.

方法二：面積法

在圖1（a）中，連接AE，構成直角梯形ACDE，如圖2.很容易得知，梯形面積等于兩個直角三角形面積與一個等腰直角三角形面積之和，運用面積法計算如下.

方法三：拼圖法

用8個全等的直角三角形拼成兩個如圖3的大正方形，圖3（a）中兩個小正方形的面積之和等于大正方形面積減去4個全等的直角三角形面積，圖3（b）中小正方形的面積也等于大正方形面積減去4個全等的直角三角形面積，因此，圖3（a）中兩個小正方形的面積之和等于圖3（b）中小正方形的面積，從而得到：a2+b2=c2.

方法四：加倍法

由圖中4個全等的三角形擴大為8個三角形拼成圖4形狀，圖4（a）的大正方形面積的2倍減去圖4（a）的小正方形面積之差等于圖4（b）的大正方形面積.

方法五：割補法

圖5由三個全等的直角三角形紙板拼成，經過割補法，將Ⅰ移至Ⅰ′，Ⅱ移至Ⅱ′，Ⅲ移至Ⅲ′.不難看出：以a為邊長的正方形與以b為邊長的正方形面積之和等于以c為邊長的正方形面積，從而得出a2+b2=c2.

編者注：以上方法其共同之處都是利用了圖形的面積進行轉化和計算，體現了數形結合的思想方法、證明勾股定理的方法還有很多，希望同學們能從中觸類旁通，積極探索其中的奧秘.