通過行程類問題s－t圖像的教學，提升學生函數綜合能力

☉浙江省杭州市大成實驗學校 陸 明

通過行程類問題s－t圖像的教學，提升學生函數綜合能力

☉浙江省杭州市大成實驗學校 陸 明

一、問題的提出

對于一次函數圖像的應用，命題者比較鐘愛s－t圖像題，這類考題與學生的實際生活比較貼近，遺憾的是，學生很害怕這類考題，得分率不高．

這是杭州市區2012年九年級數學第一次模擬考卷上的第6題，路程s與時間t的大致圖像如圖1所示，則速度v與時間t的大致圖像為（ ）.

圖1

命題者的意圖是給同學們“送分”的，但是出乎我們老師意料的是這個看似簡單的問題，同學們的得分率很低．筆者統計了所在學校九年級三個班共120位考生對這一題的回答情況，有64位同學選擇正確答案A，占全體考生的53%，而其余的56位同學全都選擇B，占全體考生的47%，這道題其實并沒有達到送分的目的，成了一個無法送出的“送分”題．

事實上，大部分學生感到一次函數難學主要是看不懂函數圖像.其實學習數學在某種意義上來說是在學習語言，從小學的計算到初中數學的用字母表示數，以及后來的方程等，學生其實經歷了文字語言到符號語言的過程，從函數的進入，事實上學生進入了另一種語言的的學習，即圖像語言．好比我們中國人學習英語，有時候看一篇英語文章，好像每個單詞都看的懂，但是整篇文章在講什么不知道．因為我們不是老外，我們需要借助漢語去消化英語文章，即我們在閱讀英語文章時，我們經歷了英語到漢語的轉譯的過程．同樣我們學習函數圖像語言，也必須把圖像語言轉譯為文字語言．

二、s－t圖像的解讀

1.s－t圖像中的“橫”，“提”，“捺”

圖2

圖3

圖4

和中學幾何中有基本圖形一樣，以上三個是在s－t圖像中常見的基本圖形，我稱它們是一次函數圖像的偏旁：“橫”，“提”，“捺”．我們在試卷中，習題中所看到的一次函數圖像都是由他們中的一個或幾個疊加而成的.我們在教學中應當讓學生清清楚楚的會說這三個“偏旁”的實際意義，即將圖像語言轉成文字語言，可以讓學生編故事，開展合作學習．

這三個“偏旁”看似簡單，實際上要讓學生說清楚不容易，特別是圖2，學生往往會說某人沒有運動，這樣的回答是不全面的，事實上完全有可能某人在原地打圈．

例 （2003年陜西中考）星期天晚飯后，小紅從家里出去散步，如圖5描述了她散步過程中離家的距離s（米）與散步所用的時間t（分）之間的函數關系．依據圖像，下面描述符合小紅散步情景的是（ ）.

A.從家出發到了一個公共閱讀欄，看了一會兒報就回家了

B.從家出發，到了一個公共閱讀欄，看了一會兒報后，繼續向前走了一段，然后回家了

C.從家出發，一直散步（沒有停留），然后回家

D.從家出發，散了一會兒步，就找同學去了，18分鐘后才開始返回

90%以上的考生都毫不猶豫地選擇了B，當年命題者預設的正確答案也為B．但還是有人對這道看似簡單的問題提出了異議，4～10分鐘這段時間一定是靜止的嗎？事實上這是一個中考“病題”，這道病題，與選擇題“有且只有一個選項正確”矛盾，其實在這個問題中有大家“看不見的圓”．要感謝當年的命題老師，盡管他在命題時忽略考慮了這個看不見的圓，但正是因為有了這題，讓我們認識到了“圖像語言”的深奧，領會到了數學的神奇．

2.如何引導學生“說圖像”

圖5

圖6

（1）“說圖像”的五個要素

在這里，教師必須要讓學生明白圖像的作用，即函數圖像直觀的反映兩變量之間的關系．教師在引導學生說圖像時可做以下幾點啟發：

①兩變量之間的實際意義是什么？各用哪一個軸表示？②每個軸用的單位是什么？

③原點的實際意義是什么？

④圖像上各點的意義，標出的端點，并說出他們的意義.

⑤圖像上各個分段的解析式.

根據上面筆者提到的五點啟發，我們可以編制如下的看圖說話練習，讓學生嘗試.

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11

圖7表示_________________________________________

圖8表示_________________________________________

圖9表示_________________________________________

圖10表示________________________________________

圖11表示_______________________________________

上述練習中的圖7，圖8描述的是一個人的運動過程，事實上就是上文說提到的三個“偏旁”的組合圖形.而圖9，圖10，圖11描述的是兩個人的運動，教師應當引導學生找到每個拐點，搞清楚函數圖像各個分段的實際意義，對于兩個人的運動圖像，還要看圖像有沒有交點，并解釋該點坐標所表示的實際意義.

（2）一道中考題的解析

（2010年咸寧中考題）在一條直線上有A、B、C三個港口，甲、乙兩船同時分別從A、B港口出發，沿直線勻速駛向C港，最終達到C港.設甲、乙兩船行駛x（h）后，與B港的距離分別為 y1、y2（km），y1、y2與 x 的函數關系如圖12所示.

（1） 填空：A、C 兩港口間的距離為 __________km，a=__________.

（2）求圖12中點P的坐標，并解釋該點坐標所表示的實際意義.

（3）若兩船的距離不超過10km時能夠相互望見，求甲乙兩船可以相互望見時x的取值范圍.

分析：本題的背景比較復雜，由于縱軸是兩船與B港的距離，所以首先引導學生畫“線段圖”，搞清楚A、B、C三個港口在直線上的具體位置，這是解讀s-t圖像的第一個關鍵點.

圖12

結合“線段圖”我們來確定一次函數圖像中A、B、C三個港口在y軸上的位置，O對應A，30對應B，90對應C.然后引導學生來“說圖像”，對于程度較差的學生可引導他們來填空：

甲船從（ ）出發，以（ ）的速度，經過（ ）小時到（ ），共行駛（ ）小時到C.

乙船從（ ）出發，以（ ）的速度，經過（ ）小時到C.

以上過程事實上是教師引導學生“識圖”的過程，接下來學生就是要求出各分段的s-t函數圖像的解析式，即

第三問由于要求若兩船的距離不超過10km時能夠相互望見，求甲乙兩船可以相互望見時x的取值范圍.學生往往會這樣求解：

這里事實上學生會遺漏x的其他兩種情況，這時還要引導學生回歸到函數圖像上，標出的端點，并說出他們的意義.從端點的左右兩邊來找，學生才能發現還遺漏了兩種可能的情況.正確的解如下：

到此s-t圖像真正解讀完畢.我們在解讀圖像時，事實上經歷了這樣一個過程：

圖像語言?文字語言?符號語言.

上圖實際上就體現了學生三種語言之間的轉譯過程，學生在函數題時都經歷了這樣的一個過程.

三、中考題的變式教學

1.改變行走的路線

如圖 13，在一條直線上有A、B兩個港口，甲、乙兩船都是從A港口出發到B港，t表示甲船離A港口的時間，s1表示甲船離A港口的距離，s2表示乙船離A港口的距離.請同學們根據圖像描述甲船和乙船的具體運動情況，并回答整個過程中甲船和乙船相遇到了幾次.

分析：在解決這個問題時，因為s1、s2分別表示甲船和乙船離A港的距離，由s1先由0增大到3千米時再減小0再增大到3千米再減小0可以分析出甲船是由A港出發在A港和B港之間往返運動了兩次，而乙船則是由A港出發在A港和B港之間往返運動了一次，當s1=s2時兩船相遇，即圖中的交點處就是相遇點，所以共相遇了4次．

圖13

2.改變距離s表示的意義

如圖 14，在一條直線上有A、B兩個港口，甲、乙兩船同時出發，t表示甲船離A港口的時間，s1表示甲船離A港口的距離，s2表示乙船離B港口的距離，請同學們根據圖像描述甲船和乙船的具體運動情況，并回答整個過程中甲船和乙船相遇到了幾次？

分析：在解決這個問題時有的同學憑直覺認為這個運動過程中甲船和乙船只相遇了一次，即交點處表示兩船相遇.其實這是錯誤的，正確理解s1、s2的意義是解決此問題的關鍵．s1表示甲船離A港口的距離，當t=0時s1=0，說明甲船從A港出發，當t=20時s1=3，表示甲船到達B港，而s2表示乙船離B港的距離，所以由圖像可得當t=0時s2=0，說明乙船一開始的位置是在B港，從B港回A港，所以s1=s2只能表示在這點上甲船離A港的距離和乙船離B港的距離相等，他們相遇時應滿足的條件是s1+s2=3．事實上經過計算可知整個過程中兩船相遇了2次．

3.兩個物體的運動狀態用一個圖像來表示

如圖15，在一條直線上有A、B兩個港口，甲船從A港出發去B港，同時乙船從B港出發到A港，圖中t表示甲船離A港的時間，s表示兩船之間的距離，請同學們解釋圖中點B、點C的實際意義．

分析：解決此問題仍是從正確理解s的意義入手.因為s表示兩船之間的距離，當t=0時s=3，即未出發時兩船之間的距離為3千米，說明A港與B港之間相距3千米，兩船相遇時他們之間的距離為零，則s=0，所以點B的實際意義是20分鐘后兩船相遇．相遇后繼續各自前行，兩船之間的距離就又開始增大，但是到C點后為什么直線要變成折線了呢？由BC、CD的傾斜度可知，CD段兩船之間的距離增大的趨勢放緩，結合實際背景可知C點處表示甲船恰好到B港，但要解釋點C的實際意義，還需要求出點C的橫、縱坐標，那么怎么根據已知數量來分析呢？因為乙船一直走了60分鐘才到A港，而20分鐘時兩船已經相遇了，說明在乙船走了三分之一的路程時遇到了甲船，那么20分鐘時乙船走了1千米，甲船走了2千米，由此可知甲船速度為6千米/時，走完全程需要半小時，而半小時乙船恰好走了全程的一半，所以點C的實際意義是30分鐘時甲船到達B港，而乙船此時離A港還有1.5千米．

4.補畫函數圖像問題

甲、乙兩船分別從A、B兩港同時相向而行，并以各自的速度勻速行駛，途徑配貨港C，甲船先到達C港，并在C港用1小時配貨，然后按原速度開往B港，乙船從B港直達A港，圖16是甲、乙兩港間的距離s（千米）與乙船出發t（時）的部分函數圖像.

圖14

（1）A、B兩地的距離是________千米，甲船出發________小時到達C港.

（2）求乙船出發2小時后直至到達A港的過程中，s與t的函數關系式及t的取值范圍，并在圖中補全函數圖像．

分析：行程問題是比較傳統的題型，但又十分重要，如何使題目耳目一新，的確讓命題者們大費腦筋，補畫函數圖像題是近幾年各省市中考卷出現的新題，這類問題的出現，的確起到了考查學生綜合能力的作用，對學生的數學閱讀能力，分析能力，作圖能力的要求都比較高．當t=0時s=300，即未出發時兩船之間的距離為300千米，說明A港與B港之間相距300千米．我們發現圖像中有一個拐點（1.5，30），經過了這一個拐點我們發現兩船之間的距離s逐漸減小的趨勢開始放緩，這說明了甲船已經到達了C港．第二問要求乙船出發2小時后直至到達A港的過程中，s與t的函數關系式及t的取值范圍，并在圖中補全函數圖像．通過計算我們得到甲的速度是120千米/小時，乙的速度是60千米/小時，接著必須搞清楚各個時間段兩船的運動狀態，這時要引導學生畫線段圖．

①當t=1.5時，甲船到達C港，乙船在B港和C港之間，兩船之間的距離是30千米．

②當t=2時，甲船停在C港半個小時，乙船剛到C，兩船之間的距離是0千米．

③當t=2.5時，甲船停在C港1個小時，乙船離開C港半個小時，兩船之間的距離是30千米．

④當t=3.5時，甲船到達B港，乙船在A、C兩港之間，兩船之間的距離是210千米．

⑤當t=5時，甲船停在B港，乙船到達A港，兩船之間的距離是300千米．

通過線段圖的分析，我們得到圖像分為五段，補全圖像如圖17．以經典行程問題為背景，以函數為數學工具的應用性問題，2011年在浙江省八個地區試卷中出現.這類試題主要考查學生“結合圖像對簡單實際問題中的函數關系進行分析”的能力，突出了函數這一數學工具在現實中具有廣泛的應用性．

圖17