漫談高中數學教科書（蘇教版）新增內容中的矛盾內涵

☉江蘇省姜堰第二中學 陳余根

張奠宙教授認為：重要的數學內容和數學思想方法，都反映了某個哲學范疇或基本矛盾的數量方面的特征.矛盾性是重要數學內容和數學思想方法的內涵之一.研究高中數學教科書（蘇教版）新增內容，剖析其中涉及的數學思想方法，不難發現，它們都體現出了矛盾論的觀點.例如，函數、坐標方法中的運動與靜止的矛盾關系；概率統計中的偶然與必然、有限與無窮的矛盾關系；而微積分又體現了局部與整體的矛盾關系，等等.下面我們以“矛盾論”的觀點來研究這些新增內容，揭示其中的矛盾規律，探索其中蘊涵的數學思想方法.

一、新增內容

為了拓展中學生的數學視野，提高學生對數學的科學價值、應用價值和文化價值的認識，激發學生學習數學的興趣，高中數學教科書（蘇教版）新增如下內容：必修1中有冪函數、函數與方程和函數模型及其應用；必修2中有三視圖、空間直角坐標系；必修3中有算法初步、統計、概率；選修1-1中有常見邏輯用語、導數及其應用；選修1-2中有統計案例、推理與證明、數系的擴充與復數的引入、框圖；選修2-1中有空間向量與立體幾何；選修2-2中有定積分；選修3-1中有數學史選講；選修3-2中有信息安全與密碼；選修3-3中有球面上的幾何；選修3-4中有對稱與群；選修3-5中有歐拉公式與閉曲面分類；選修3-6中有三等分角與數域擴充；選修4-1中有幾何證明選講；選修4-2中有矩陣與變換；選修4-4中有坐標系與參數方程；選修4-5中有不等式選講.這些新增內容大都蘊涵著基本的矛盾規律.

二、矛盾內涵

1.運動與靜止.

運動與靜止是基本的矛盾現象，它在數學中的反映比比皆是.如函數方法、坐標方法等.新教材中增加了參數方程的內容，進一步強化了函數的思想，而函數是數學中刻畫運動的主要方法.設在某個變化過程中有兩個變量x、y，如果對于x在某個范圍內的每一個確定的值，按照某種對應關系，y都有唯一確定的值與之對應，那么我們就可以用等式y=f（x）來表示這種對應關系，或者可以把函數看成是建立在兩個非空的數集上的單值對應.它刻畫了事物的運動變化；若要刻畫事物在運動過程中的靜止狀態，則可以用y=f（x0）來表示.

新教材中增加了空間向量、空間直角坐標系的內容，這樣就進一步深化了坐標法，可借助坐標系將點與有序實數對（x，y，z）聯系起來.當點運動時，實數對（x，y，x）隨之變化；反之，當實數對變化時，點也隨之運動并形成軌跡.當點靜止時，實數對中的變量則為定值.

在新增的導數這一部分內容中，利用導數研究函數的性質時，當函數在某一區間內為增函數時，導數f′（x）>0；當函數在某一區間內為減函數時，導數f′（x）<0；當函數在某一區間內既不增加也不減少時，f′（x）=0，這樣一來，f′（x）≠0就刻畫了運動，f′（x）=0就刻畫了靜止.

2.局部與整體.

局部與整體的矛盾首先反映在初等數學與高等數學的矛盾對立上，初等數學是從整體著眼的，高等數學則是從局部分析入手的.由于局部分析較之整體著眼更能深入揭示數學的內涵，因此高等數學要比初等數學更深刻、更能解決問題.這也是高中數學教科書（蘇教版）新增內容中大量出現高等數學內容的原因.

在新增的微積分中，微分是將整體分為局部，而積分是將局部積為整體，所以微積分也反映了局部與整體的矛盾.再如定積分，它本身就是從整體到局部，再由局部到整體的矛盾的產物.在新增的復數這部分內容中，也能體現出局部與整體矛盾的對立和統一.當初，復數是人們在研究求解一元二次方程、一元三次方程時引入的，是一個局部的解決問題的手段，現在，復數已形成完整的一套理論.在數學、力學、電學以及其他科學中有了廣泛應用，成為現代科學技術中普遍使用的一種工具.同時復數的研究多數是借助于實數化的方法，這是局部與整體的矛盾的統一.

3.偶然與必然.

在新增的概率論部分，充分地體現了必然性與偶然性的矛盾關系.概率論是從數量上研究必然性與偶然性的學科，它從所研究的偶然性的問題中尋找出必然的數量規律，并對這些偶然性的因素給以數量的刻畫與分析，揭示了隨機事件發生的不確定性和它的頻率的穩定性之間的矛盾（如“中獎率為的彩票，買1000張并不一定中獎”）.

必然性與偶然性，在數學中稱之為確定性與隨機性，從而就有相應的確定數學與隨機數學之分.舊教材基本上都是確定數學，在對學生的世界觀的培養上有一定的局限性.現在新教材中增加了許多隨機數學的內容，比如概率論中的古典概型、幾何概型等.而在研究隨機現象時，卻使用確定數學的手段，如排列、組合等，從而得出確定的結論.反過來，隨機數學又推動了確定數學的發展.

分析：這原本是個確定的問題，可用定積分方法求解，但我們卻可以采用隨機方法來研究.在直角坐標系中畫出正方形（x=1、x=2、y=0、y=1所圍成的部分）.用隨機模擬的方法可以得到它的面積.

解：（1）利用計算器或計算機產生兩組0到1區間上的隨機數，a1=RAND，b=RAND；

（2）進行平移變換：a=a1+1；（其中a、b分別為隨機點的橫坐標和縱坐標）

（3）數出落在陰影內的點數N1，用幾何概型公式計算陰影部分的面積.

圖1

有興趣的讀者可做以下練習：（2007年全國高考海南卷第20題）如圖1，面積為S的正方形ABCD中有一個不規則的圖形M，可按下面方法估計M的面積：在正方形ABCD中隨機投擲n個點，若n個點中有m個點落入M中，則M的面積的估計值為，假設正方形ABCD的邊長為2，M的面積為1，并向正方形ABCD中隨機投擲10000個點，以X表示落入M中的點的數目.

（1）求X的均值EX；

（2）求用以上方法估計M的面積時，M的面積的估計值與實際值之差在區間（-0.03，0.03）內的概率.

k 2424 2425 2574 2575 P（k） 0.0403 0.0423 0.9570 0.9590

答案：（1）EX=2500；（2）P=0.9147.

確定性數學正在隨機化，許多原來是確定數學的范疇，現在都和隨機數學有機地結合起來，成為新興的學科.確定數學和隨機數學正在相互滲透，兩者已到了密不可分的地步.這也是矛盾相互依存的一個方面.中學階段滲透這種思維方式對傳統觀念是一種挑戰，對學生的思維能力的培養是一個升華.

4.近似與精確.

近似與精確也是數學所研究的一對矛盾，這對矛盾的轉化推動了數學的發展.

首先，舊教材過分追求精確，嚴重地束縛了學生的思維的發展，對數學的應用功能得不到充分的認識.新教材增加了許多近似計算方面的內容，使學生真切地感受到什么是真正的數學.

我們知道，精確是相對的，近似是絕對的，因此，為了解決實際問題，必須采用近似計算，并借助近似計算求得相對精確的結果.計算機數學正是本著這個精神發展起來的.下面以基本算法為例來說明人們是如何利用計算機，將精確問題化為近似計算求得相對精確的結果.

例2 （必修3第22頁例4）拋擲一枚硬幣時，既可能出現正面，也可能出現反面，預先作出確定的判斷是不可能的，但是假如硬幣質量均勻，那么當拋擲次數很多時，出現正面的頻率應接近于50%.試設計一個循環語句模擬拋擲中出現正面的頻率.

分析：在程序語言中，有一個隨機函數“Rnd”，它能產生0與1之間的隨機數.這樣我們可用大于0.5的隨機數表示出現正面，不大于0.5的隨機數表示出現反面.

解：本題算法的偽代碼如下：

利用上述程序，即可指令計算機進行計算，且可做到要多精確就多精確，從而又化近似為精確.

在新增的定積分中，也充分反映了近似與精確的矛盾轉化，首先是在分割的基礎上近似求和，然后再對近似和取極限，并最終求得定積分的精確值.

讓中學生初步接觸這些近似與精確的相互轉化，有助于他們既能宏觀地認識世界，又能微觀地研究世界.

5.同一與差異.

同一與差異是數學中最普遍的一對矛盾.所謂“差異”，是指特殊性與不同點；所謂“同一”，是指一般性與相同點.同一性寓于差異性，同時，同一其實乃是差異間的內在聯系.

在必修4中，新增的所謂“萬能置換公式”：

6.有限與無窮.

有限與無窮的矛盾曾經在數學發展史上起到無法估量的推動作用，最為典型的是著名的是“第二次數學危機”.在必修3中，新增了古典概型和幾何概型，雖然研究的是數學確定性和隨機性的科學，但是，它們的思維過程卻是從有限到無限的升華.下面從幾何概型第一課時的引入分析其矛盾內涵.

6.1 創設情境.

問題1：一根長度為3m的繩子上，有A1、A2、A3、A4、A5五個點將繩子均分成六段，從A1、A2、A3、A4、A5中任選一點將繩子剪斷，那么剪得的兩段均不小于1m的概率是多少？

6.2 學生活動.

問題2：取一根長度為3m的繩子，如果拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長都不小于1m的概率有多大？

請同學們先思考如下三個問題：

（1）試驗中的基本事件是什么？

（2）每個基本事件的發生是等可能的嗎？

（3）符合古典概型的特點嗎？

這個問題的基本事件有無限多個，雖然類似于古典概型，還存在著“等可能性”，但是顯然不能像古典概型那樣用“有限的”、可以“數”的方法來求解，這就要引入具有“無窮個點構成線、面、體”來度量作為主要特征的“測度”來求解.這里體現了有限與無窮這對矛盾的對立與統一.

不僅如此，我們還可以在形形色色、內容千差萬別的數學分支中找到內在聯系，這就是結構和變換，這些內容在新增的選修內容中都有所涉獵.

其實，客觀世界本身就是由矛盾構成的，而矛盾又是事物發展的源泉和動力，只有認識矛盾，才能利用矛盾和解決矛盾.用哲學上矛盾的觀點審視高中數學教科書（蘇教版）新增內容，剖析其中涉及的數學思想方法，能讓我們從更高的層面上認識數學、認識世界，對幫助學生進一步樹立起辯證唯物主義的世界觀和方法論也是非常有益的.

張奠宙.《數學方法論稿》.上海教育出版社，1996年.