解決一元二次方程根的分布問題的基本策略

☉湖南省永州市第一中學 唐長軒

一元二次方程根的分布問題一直是高中數學中的重要內容，由于它常和其他知識形成交匯，近年來一直是高考中的熱點，然而在解答過程中大家往往因為思考問題不全面而出錯，因而這個內容對大家來說是一個難點.下面就以一道常見的習題為例談談解決這類問題的基本策略.

題目：關于x的方程x2+（m－1）x+1=0在區間［0，2］上有解，求實數m的取值范圍.

一、數形結合

解法1：令f（x）=x2+（m－1）x+1.方程x2+（m－1）x+1=0在［0，2］上有一解，f（0）=1>0，得f（2）≤0，則在［0，2］上有兩解，則解得≤m≤－1.綜上可知m≤－1.

圖1

解法2：x2+（m－1）x+1=0化為x2+1=（1－m）x，則由題意可知函數f（x）=x2+1的圖像與g（x）=（1－m）x的圖像在x∈［0，2］時有交點.易由導數知識求得拋物線f（x）=x2+1的過原點的切線方程為y=2x（y=－2x舍去），切點是（1，2），只需直線g（x）=（1－m）x的斜率1－m滿足1－m≥2即m≤－1時，f（x）=x2+1的圖像與g（x）=（1－m）x的圖像在x∈［0，2］時一定有交點，故方程x2+（m－1）x+1=0在區間［0，2］上有解時，m≤－1.

二、正難則反

解法3：先求出該方程在區間［0，2］上無解時實數m的取值范圍，再在實數集R上取其補集.易知原方程在區間［0，2］上無解，則有三種情形：如圖1、2、3所示.

圖3 圖4

若為圖1，則△<0?（m－1）2－4<0，即－1

取三種情況的并集，得m>－1.故所求m的取值范圍為（-∞，-1］.

三、等價轉化

最后要特別強調的是以上幾種策略并不是孤立的，它們往往相互滲透，在解決一個問題時會用到多種方法.