做一個“善于舉例”的數學教師——來自一線教師的認識、實踐與思考

☉江蘇省海安縣海安鎮隆政初級中學 趙山龍

一、緣起

近期再讀鄭毓信教授在《中學數學月刊》2010年第3、4期關于“三項基本功”的文章［1］、［2］并鏈接閱讀了鄭教授在《人民教育》2008年的系列文章《善于提問》、《善于舉例》、《善于優化》，讀后頗有感觸.恰逢學校備課組一月活動日，備課組成員就“善于舉例”這一論題展開充分的討論與交流.下面我們從一線教師的角度談談“善于舉例”的認識與實踐.

二、“善于舉例”的認識

1.“善于舉例”本質上是關注教師的“教”

文［3］中，國家督學成尚榮先生指出，“教學的根本性變革——以學生的學習為核心”，“學生學會學習是教學的核心，學生主動學習、創造性地學習、享受學習，應當是教學的最高和永遠的追求，也是教學的本質回歸”.他還說“以學生的學習為核心，任何時候都不能輕慢，更不能放松教師積極的主導作用，這同樣是一條重要原則”.此外，鄭毓信教授在文［4］指出，“國內數學教育界近年來一項明顯變化，即是對學生數學學習活動的高度關注”，“對于學生的學習活動、特別是學生在數學學習過程中思維活動的很好了解顯然應當被看成教學工作的直接前提：這不僅直接關系到教師應當如何去教，也關系到我們究竟應當教什么樣的數學……”進而，鄭教授從對照的角度分析，指出“國際數學教育界近年來所出現的一項新變化，即是由主要關注學生轉向了更加重視教師的教學工作”.我們認為，關注“善于舉例”本質上就是關注教師的“教”，從這個意義上就不難理解鄭教授在文［5］中指出“會舉例，善于舉例，這應當被看成數學教師的一個基本功”.

2.“善于舉例”根本上是幫助學生的“學”

近年來得到迅速發展的“多元表征理論”［6］強調表征不同方面的相互滲透與必要互補，而教師在課堂教學中的“善于舉例”則可看成通過表征不同數學概念、習題及解法、反思感悟等方向，幫助學生在不同的例舉中，發現、感悟變化中的不變因素，并由“多”逐步深入到“一（本質）”.作為一線教師，我們在課堂教學更多的時候，講授某一概念或點評某一道習題解法時，往往需要通過觀察學生的“學情”（學生的表情、眼神等），決定問題是否需要再次舉例、多元表征，幫助習得、悟得.在這里，教者的善于舉例與否，也即舉例的是否恰當、是否貼近正在分析數學知識或問題，直接影響了學生的理解、體會.特別地，當我們因為一個到位、有效的舉例，看到學生的“會意”的眼神，發現學生“柳暗花明”后“貫通”興趣神態，是否也算為師之一樂？

三、“善于舉例”的案例賞析

為了更為直接地表明，我們對初中數學課堂教學中“善于舉例”是如何理解的？下面的敘述將結合具體的案例展開.

1.情境導入時的善于舉例

2011年10月13日～15日，“2011年江蘇省初中數學青年教師優秀課觀摩與評比活動”在江蘇省宿遷中學（老校區）舉行，我們選取一等獎獲得者南通市參賽選手紀紅芳老師《圓》的情境導入實錄：

PPT展示幾幅生活中常見的圓的實例.學生欣賞后……

師：現在，你知道這節課，我們要學習哪個圖形嗎？

生（齊答）：圓！

師：小學里學過圓嗎？這節課我們在小學的基礎上，繼續來學習圓的相關知識.

老師板書標題.

師：你們會畫圓嗎？同學們自己操作一下，請一個同學到黑板上畫一個圓.下面的學生很快畫好，

師：請同學們看黑板上這個同學畫圓的過程.大家看要注意什么？

生1：要注意圓心不能動，半徑不能改變.

師：好，再來看操場上用繩子畫圓的過程.

播放一段視頻（見截圖）：

師：同學們發現在畫圓的過程中，你能畫圓有什么共同點？

生2：都是繞一個固定點旋轉一周.

生3：不管是圓規兩腳之間，還是繩子的長度，它們在畫的過程中不能變化.

師：我們把固定的這一點叫做定點，那個長度我們稱定長.

老師很順利跟學生一起共同提煉，得出了圓的描述性定義.

賞析：紀老師到這里用去6分鐘，但學生已十分接近圓的描述性定義（呼之欲出，從現場學生的表情、神態，可見大多數學生已理解了），筆者曾反復觀摩這段視頻，應該說，教者的行為是“善于舉例”的.理由有以下兩點：一是，教者舉出的一組圖片例子很自然地幫助學生形成了本課要學習的主題——圓；二是，教者接著安排兩個活動（學生用圓規畫圓、兩同學在操作上用繩子畫圓），從上面的實錄可見，根據動手操作和觀摩畫圓后，學生在教者的引導下找出“共同點”，很自然地得到了圓的定義.特別地，我們有理由對情境引入中的舉例談以下認識：一，情境舉例不要太長，背景也不需要太豐富；二，情境舉例要突顯后續引入的知識，找好契合點或知識的聯結點，避免負情境的舉例；三，從多元表征理論來看，情境舉例亦必須是待引入概念的本質的外部表征.

2.核心概念教學時要善于舉例

下面是筆者去年參加縣級青年教師基本功比賽時上的反比例函數圖像及性質（第1課時）的片斷：

師：你能發現它們的共同特征嗎？

師：對，不同點呢？

生2：當系數k為正數或負數時，圖像所處的象限不一樣.

師：你能分類講全，并對應好嗎？

生3：當k>0時，位于第一、三象限；當k<0時，位于第二、四象限.

師：很好.類比一次函數的增減性描述，誰來描述反比例函數的增減性？

生4：當k>0時，y隨x的增大而減少；當k<0時，y隨x的增大而增大.

師：他回答對嗎？

眾生齊答：對！

師：你（生4）再表達一下這兩點的變化情況.

生4：這時y隨x增大而增大.

生4及眾生沉默.

師：小組內再交流一下.

（老師注意到有一些學生有表達的愿望）

師：誰能把“當k>0時，y隨x的增大而減少；當k<0時，y隨x的增大而增大”這種說法優化一下？

生5：當k>0時，在每個象限內y隨x的增大而減少；當k<0時，在每個象限內y隨x的增大而增大.

師：非常好！“在每個象限內”這個限制條件加得很好！給大家準備1分鐘，先在小組內每個同學表述一遍.再請兩個同學完整復述一遍反比例函數的圖像與性質.

過了2分鐘，學生分組鞏固這個性質.

師：老師關注到一詩關于反比例函數的歌曲《悲傷的雙曲線》，PPT上展示歌詞給同學們，也作為幫助同學們理解反比例函數的圖像與性質.

悲傷的雙曲線

如果我是雙曲線，恩——，你就是那漸近線；

如果我是反比例函數，你就是那坐標軸.

雖然我們有緣能夠生在同一個平面，

然而我們又無緣，恩——，慢慢長路無交點.

為何看不見，等式成立要條件；

難道如書上說的，無限接近不能達到.

為何看不見，明月也有陰晴圓缺；

此事古難全，但愿千里共嬋娟.

賞析：初中階段的三種初等函數，在學習時，由于它們之間的相同與不同，初次接觸時，學生往往對反比例函數的圖像與性質的描述與理解不深刻，與之相關的考題也是層出不窮，足見此處的重要性.從上面的教學片斷可知，一是在學生易錯點、易混點處，要讓學生多說，認真傾聽學生的“見解”，即時“糾錯”并“究錯”；二是，引導學生交流、對話，完備性質，這時討論與對話的意義是重要的；三是，等大多數學同學接受新的知識、性質后，鏈接一個精彩的案例（像上面這樣給出一個跨學科的“歌曲”）也能起到聚意點睛式的效果.

3.解題教學中的善于舉例

下面是筆者在一次試卷講評課時一個經歷，這份試題涉及了高中一元二次不等式，筆者在組織訂正該試題時，安排了學生“講題”［7］活動，課后，講題學生吳佳幸同學記錄了這一過程，請看：

記一次“二次根式取值范圍問題”的講題經歷

九年級 吳佳幸

今天劉老師讓我講解了一道二次根式的取值范圍問題，請看題目：

等我說過，劉老師追問：你到得到的是一元一次不等式？

我再看了一下，說：不，好像是一元二次不等式？

劉老師：對！你學過這種不等式的解法嗎？

我表示：沒有學過，但我模仿一元一次不等式的解法做的.

劉老師：這種模仿、類比的意識很好，但是這里涉及的一元二次不等式不屬于初中知識，我們暫時不補充它的解法，但我們可以借助從二次函數的圖像來理解.

接著老師把根號下的表達式寫成一個二次函數y=2a2-5，老師用幾何畫板作出如圖1.

圖1

老師追問：同學們看這里的點A，點B的意義是什么？

我說：對應著方程2a2-5=0的兩根

老師表示了肯定，讓我們討論一下能否結合這個圖像分析出2a2-5≥0解集？

很快大家都弄清楚了問題.

老師最后給出的點評是：數形結合往往使我們事半功倍，而且還能更深入理解題意，由此我也明白了做題不在“多”，而在“聯”的道理.

賞析：從該生的記錄可以看出，她是不會一元二次不等式的（事實上，初中階段不作要求），她開始的解法是模仿一元一次不等式解法得具有一定的合理性.筆者曾追問臺下聽講學生，他們都沒有表示異議.才有筆者的追問，該同學認為忽視a的指數為2，是這樣嗎？那她怎么會有呢？這時是給學生補充一元二次不等式的知識？還是選擇其他的引導方式？筆者的選擇是溝通二次函數，從拋物線“形”的角度引導學生分析此類問題，可以發現，學生悟出了做題“不求‘多’而求‘聯’”的道理（筆者在這道問題講完后，點評時引用鄭毓信教授關于數學知識不求“多”而應求“聯”的觀點，上面是該生書寫有筆誤）.這樣的收獲是否已超越了講評一道錯題的意義了？

四、善于舉例的幾點思考

1.“善于舉例”功夫在教學預設

“凡事預則立，不預則廢.”教學預設的意義也在于此.誠如上文3.1，3.2我們給出的教學片斷，教者舉出的案例幫助了學生的“學”，其功夫全在上課之前.這也說明，我們需要精心備課，結合所授內容的特點，鏈接例子，做好課堂教學的儲備.特別是，很多帶有數學欣賞方向的舉例，又不是在準備某一堂課時所能“信手拈來”，更多的卻來自教者長期的積累，這里既有對所授數學的精深理解，還需要跨學科的知識積淀.順便提及，張奠宙先生在文［8］中提及的關于一個“圓”的教學案例，大意是，在“圓”的第一課時，學生在回答什么是“圓”時，答道：“地球是圓的”，“籃球是圓的”，“月亮是圓的”……看來，生活中，或者語文課上的“圓”，乃是“圓形”和“圓盤”的意思，而數學上的圓，僅指圓周，二者相互干擾，造成認知沖突.張先生指出教師需要跨學科地備課，仔細區分詞匯的學科含義.張先生又進一步指出，在數學課上要適當地講點語文知識.從這個意義上來看，上文3.1教學片斷中，教者在情境導入里提供的案例也就是在課前經過精心準備，有效規避了認知沖突，也是我們提倡的“善于舉例”.

2.“善于舉例”宜舉例在知識的“聯結點”

張奠宙先生在文［9］中指出，數學教師的責任是返璞歸真，運用適度的非形式化的方法，將數學的學術形態轉化為教育形態，展現數學的魅力，激起學生學習數學的熱情.文中建議：幫助學生提示數學的內在聯系.這是很有見地的！我們認為，評價教者在課堂上的“善于舉例”的一個重要指標即可看成：該教師在講授、追問、點評時所舉的例子是否與所授知識處于一個思維網絡的“聯結點”.這樣，學生在紛繁復雜的干擾中才可尋找本質、感性的信息，從而幫助學生達到對數學內在本質的認識.一個經典的例子是，很多老師在進入平面直角坐標初學“有序數對”時，將教學中課桌并攏，拉2根相互垂直的長繩，一人為原點，于是每個人都有坐標.象限、直線、坐標軸都可通過學生的活動加以演示.坐標原點可以移動，正是坐標變換的影子.并可以在變換坐標軸的背景下讓學生說出自己的坐標，在筆者的教學與聽課經歷中，曾多次經歷這樣的場景，一些基礎不好的學生被要求匯報自己的坐標時，雖然滿臉脹得通紅，其他同學著急得幫助他，直至最終他的問題解決后，才如釋重負.整個過程比起抽象地講數軸、坐標系，要生動、實際多了.特別是有效的調動了全體學生的課堂參與.

3.“善于舉例”應包括舉正例和反例

我們在課堂教學中，常常在一些數學概念所展現的多元表征上充分舉例，在“標準變式”的基礎上引入“非標準變式”，以達到讓學生理解某概念的內涵.如關于對頂角的學習，除了讓學生分析在“標準變式”兩條直線相交得到的對頂角外，給出下面的一組“反例”圖形（圖2），對于幫助學生加深對頂角的理解無疑是有好處的.

圖2

圖3圖4圖5

新授課時，適時將學生出現的上述錯誤（是一種生成的“反例”）例舉給所有學生，讓大家“糾錯”并剖析，不但能給出錯誤同學以較深的印象，對其他同學亦是一種很好的教育資源.

4.“善于舉例”應關注課堂“后半段”

張奠宙、趙小平先生在文［10］指出，“很多課堂，非常注重認識過程的前半段：創設情境、提出問題、分組探究、匯報歸納……但是，眾所周知，認識過程還有理性認識的加深，并反作用于實踐的后半段過程.這表現為練習鞏固、反思總結、欣賞體驗、變式應用、提煉成數學思想方法……”我們認為，關注“后半段”，通過恰當的舉例，在課堂上促進目標達成，氣氛推向高潮，問題的探究引向深入是完全有可能的.而在“后半段”的舉例，主要包括以下形式：精心設計好鞏固概念或性質的練習，來一次精彩的解題后解法賞析（可有效避免“進寶山而空返”），對問題嘗試變式拓展、引向深入，或是師生一起品味、感悟本課中的數學思想方法等.

五、結束語

作為數學教師的一項基本功——“善于舉例”，討論雖至文末，但我們深知“善于舉例”的話題是伴隨課堂教學始終的話題，只要登上講臺，舉例必然會“隨堂而行”，它不應有一個所謂的“終結性答案”.永遠在追尋，永遠在路上.這就是我們對“善于舉例”的一種基本取向，但它應有一個追求，這個追求就是：一切為了幫助學生更好的“學”！

1.鄭毓信.從三項基本功到數學教師的專業成長［J］.中學數學月刊，2010（3）：1～4.

2.鄭毓信.從三項基本功到數學教師的專業成長（續）［J］.中學數學月刊，2010（4）：1～4.

3.成尚榮.教學改革絕不能止于“有效教學”——有效教學的批判性思考［J］.人民教育，2010（23）：38～39.

4.鄭毓信.教師專業成長：背景、內涵與基本途徑［J］.中學數學教學參考·上旬刊，2011（1～2）.

5. 鄭毓信.善于優化［J］.人民教育，2008（18）：42～44.

6.唐劍嵐.數學多元表征學習的認知模型及教學研究［D］.南京師范大學，2008，5.

7.劉東升.讓學生在“講題”中提高數學能力［J］.中學數學教學參考·中旬刊，2011（7）：7～9.

8.張奠宙.語、數、外三科都是一種語言教學——從“籃球是圓的”說起［J］.中學數學月刊，2011（6）：1～2.

9.張奠宙，王振輝.關于數學的學術形礦教育形態——談“火熱的思考”與“冰冷的美麗”［J］.數學教育學報，2002（5）：1～4.

10.張奠宙，趙小平.教學中多多關注“后半段”——怎樣上好復習課［J］.數學教學，2011（4）：封底.