如何提取抽象函數中非抽象的元素

☉廣東省開平市開僑中學 陳 晨

如何提取抽象函數中非抽象的元素

☉廣東省開平市開僑中學 陳 晨

抽象函數因其解析式不確定，在處理問題時常感無從下手，其實，大部分抽象函數都是以中學階段所學的基本函數為背景的，即有一個從具體到抽象（編題），從抽象到具體（解題）的辨證關系．解題時，若能根據題設中抽象函數的性質尋找抽象函數的特殊模型，利用特殊函數的性質，靈活變通，便可尋找到解題的突破口．下面舉例說明解抽象函數問題中，如何有效提取非抽象的元素．

一、聯想熟知的函數模型

例1已知定義在（0，+∞）上的函數f（x），滿足f（xy）=f（x）+f（y），且當x＞1時，f（x）＜0.

證明：（1）f（x）恒過定點（1，0）；（2）當0＜x＜1時，f（x）＞0；（3）函數是（0，+∞）上的減函數；（4）解不等式f（x2－x）＜f（x+3）.

解析：解題時，可以參考函數原型，由題意可知，該函數原型為f（x）=logax（0＜a＜1），則函數具有以下性質（1）f（1）=0；（2）當0＜x＜1時，f（x）＞0；（3）函數是（0，+∞）上的減函數.但是在解答題中，不可直接把函數令為f（x）=logax（0＜a＜1），而必須通過必要的邏輯推理得到答案.

（1）令x=0，y=1，則f（0×1）=f（0）+f（1），f（1）=0，所以f（x）過定點（1，0）.

（4）因為f（x2－x）＜f（x+3），且函數f（x）是（0，+∞）上的減函數，因此x2－x＞x+3＞0，所以原不等式的解集為{x|x＞3或－3＜x＜－1}.

二、利用奇偶性，整體思考

故原不等式的解集為（－1，0）∪（0，1）.故選D.

點評：本題主要考查奇函數的性質，函數單調性的應用以及不等式的解法.

三、利用周期性，回歸已知

例3已知定義在R上的奇函數f（x）滿足f（x－4）=－f（x），且在區間［0，2］上是增函數，則（ ）.

解法1：因為f（x+8）=－f（x+4）=－［－f（x）］=f（x），所以8是該函數的周期.又因為f（x－4）=－f（x）=f（－x），所以x=－2是該函數的對稱軸.又因為此函數為奇函數，定義域為R，所以f（0）=0，且函數的圖像關于x=2對稱.因為函數f（x）在區間［0，2］上是增函數，所以在［0，2］上的函數值非負，故f（1）＞0，所以f（－25）=－f（25）=－f（1）＜0，f（80）=f（0）=0，f（11）=f（3）＞0，因此，f（－25）＜f（80）＜f（11），故選D.

即f（－25）＜f（80）＜f（11），故選D.