合情化歸 探求創新試題

☉江蘇省阜寧中學 丁敏春

合情化歸 探求創新試題

☉江蘇省阜寧中學 丁敏春

由于創新試題有很好的區分和選拔功能，所以在2012年高考數學試題中具有創新意識和創新思維的新題精彩紛呈.數學創新試題具有以下鮮明的特點：背景新穎，內涵豐富，數學本質深刻，設問方式靈活等.高考數學創新試題主要題型有：（1）新定義型試題；（2）圖形信息型試題；（3）實際應用型試題；（4）類比歸納型試題；（5）綜合知識型試題；（6）能力探究型試題.本文嘗試運用合情化歸探求解答2012年高考中的部分數學創新試題.

所謂“化歸”，就是轉化和歸納.在解決數學問題時，人們常常將待解決的問題甲，通過某種轉化過程，歸結為一個已經解決或者比較容易解決的問題乙，然后通過問題乙的解答返回去求得問題甲的解答.化歸就是問題的規范化和模式化.

一、化歸的基本要素

（1）化歸對象；（2）化歸目標；（3）化歸途徑.

二、化歸的基本原則

1.熟悉化原則

將待解決的陌生問題化歸為一個比較熟悉的問題，就可以充分調動已知的知識和經驗運用于面臨的新問題，從而有利于問題的解決.

2.簡單化原則

將一個復雜的問題化歸為一系列比較簡單的問題，可以通過分類、割補、特殊化、換元等具體方法使問題變得簡單.

例 （2012·新課標理·11）已知三棱錐S－ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2，則此棱錐的體積為（ ）。

3.直觀化原則

具體化就是把比較抽象的問題轉化為比較具體直觀的問題，以便形象地把握問題涉及的各個對象之間的關系.

A.當a＜0時，x1+x2＜0，y1+y2＞0 B.當a＜0時，x1+x2＞0，y1+y2＜0 C.當a＞0時，x1+x2＜0，y1+y2＜0 D.當a＞0時，x1+x2＞0，y1+y2＞0分析：先繪畫四圖：

圖1

圖2

圖3

圖4

觀察圖1（當a＞0，b＞0時），圖3（當a＜0，b＞0時），兩個圖像各有兩個不同的公共點.

圖5

由φ（x）x=1，推得4b3=27a3.

故答案為B.

4.本源化原則

我們應善于從數學問題的條件和結論中概括出問題所蘊含的數學知識、數學思想，回歸數學問題的源泉和本質.

圖6

設A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點P.

（ii）求證：PF1+PF2是定值.

如圖7，設∠xF1A=θ，C點極角為π+θ.

圖7

化歸：設點C與B關于原點O中心對稱，由條件AF1平行于BF2，知A，F1，C三點共線，且CF1與BF2平行且相等.

圖8

5.和諧化原則

這里的“和諧”是指對偶與勻稱，是指把條件和結論的表現形式轉化為更具有數與形內部固有的和諧統一的特征.

觀測橫軸：求解二元變量的取值范圍常用方法.

觀測縱軸：線性規劃知識.

6.正難則反原則

當正面討論問題遇到困難時，可設法從問題的反面去探求，使問題獲得解答.如反證法，求參數范圍時的補集思想，概率問題中的對立事件等.

三、化歸的基本途徑

1.等價轉化

將原題轉化為與之等價的命題.

例（2012·北京理·14）已知f（x）=m（x－2m）（x+m+3），g（x）=2x－2，若同時滿足條件：

則m的取值范圍是_______.

分析：①p∨q為真等價于p，q有一真，所以，當?x∈［1，+∞）時，f（x）＜0；

結合二次函數圖像，列式f（1）＜0，f（－4）＞0，解得－4＜m＜－2.

2.數形結合

將問題中的數量關系（解析式）與空間形式（圖形）關系互相轉化.

3.退化處理

常用的方法為降元降維降冪.

4.構造法

“構造”一個合適的數學模型.

總之，解題者的“兵力”是數學基礎知識，解題者的“兵器”是數學基本方法.成功解題的基本要素是：知識結構，思維能力，經驗題感，情感態度.化歸是解決數學問題的一種重要思想方法，善于使用化歸是數學思維方式的一個重要特點.合情化歸是有效解題的強力引擎，我們期待合情化歸一定會創造更多數學文化價值.

1.羅增儒.數學解題學引論［M］.西安：陜西師范大學出版社，1997.

2.趙小云，著.數學化歸思維論［M］.葉立軍，譯.北京：科學出版社，2006.