為學生的思維打開一扇窗

☉江蘇省東海縣青湖中學 高桂霞

為學生的思維打開一扇窗

☉江蘇省東海縣青湖中學 高桂霞

數學教學的目的之一是培養學生的思維品質，提高學生的思維能力，使學生在學習數學基礎知識的同時，不斷發現數學的思維過程，學到其思維方法，從而學會獨立探索，有所發現，有所創新，以便更好地掌握和應用知識．數學思維訓練通常是以解題教學為中心展開的．沒有一定量的題練，固然達不到練就過硬解題本領的要求，但“題海之戰”也未必培養出高素質、高能力的學生，反而加重他們的負擔，帶來負面影響，這與素質教育是相悖的．

一、一題多練，拓展思維空間

集中思維通常稱為求同思維，主要是依靠已有的知識體系，展示現成解決方案和答案的一種思維方式． 根據集中思維的特點，如果給出一道題不變換其意境，使學生在領會題意的基礎上，發揮記憶和合乎邏輯的推理功能，可以拓展學生的集中思維空間． 一題多練是訓練學生拓展集中思維的有效方法，從中可以進行同中求異，異中求同的思維訓練，達到觸一題，通一類之功效．

例1 根據下列條件，求出拋物線的解析式.

適當處理以上例題，可以拓展學生數學學習的思維空間，給他們以較大的思想范圍，并引導學生根據已有的知識、經驗和方法，對數學問題廣泛聯想，積極探索，不“墨守成規”，追求“標新立異”.

二、一題多解，拓展發散思維空間

數學教學不僅要準確地傳授知識，而且也要注意對學生的思維加強訓練，尤其是發散思維訓練.訓練發散思維，著眼于探索未知事物，鼓勵學生大膽地去追求事物間的新關系，解決問題的新方法，尋找問題的新答案.

不少習題，有多種解法，因而解完一道題后，應反思一下是否還有更好的解題途徑.這樣既能加強知識間的聯系，又培養了學生周密的思考能力.

例2 如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D為AC的中點，AE⊥BD，垂足為E點，延長AE交BC于F.求證：∠ADB=∠CDF.

分析1：證明兩個角相等，首先考慮證兩個三角形全等.由于∠ADB在△ABD中，故可設法構造一個與△ABD全等的三角形，并使這個三角形中含有一個銳角等于∠CDF.

解法1：過點C作AB的平行線與AF的延長線相交于點H.

分析2：從另一個角度分析.因為∠CDF在△CDF中，并有條件AD=DC，故可設法構造一個與△CDF全等的三角形.考慮到∠C=45°，所以可作∠BAC的平分線AM.

解法2：如圖2，過點A作∠BAC的平分線AM交BD于M.

因為∠BAC=90°，

所以∠DAM=∠BAM=45°.

因為AE⊥BD，

所以∠BAE+∠3=90°.

又∠1+∠BAE=90°，所以∠1=∠3.

因為∠BAC=90°，所以AB=AC.

所以∠C=45°，所以∠DAM=∠BAM=∠C.

圖2

在一題多解后，可分析各種解法的合理性，用對比的方法，選出最佳解（證）法.從而不僅拓展了學生的解題思路，而且培養了他們的創新意識，開拓了學生的發散思維的空間.

三、一題多變，是發散思維與集中思維相互轉化的兩個方面

一個創造思維活動的過程，要經過從發散思維到集中思維，再從集中思維到發散思維多次循環才能完成.在創造思維品質的發展中，發散思維和集中思維中思維處在不同的地位，起著不同的作用.所以教師在培養學生集中思維的同時，必須重視發散思維的訓練，因此可提供一些一題多變的題目，使學生在尋求各種結果中，表現思維的創造性.

上面的例2，我們可以把原題的條件和結論交換一下，得到下題：

例3 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D為AC的中點，點F在BC上，∠ADB=∠CDF，連接AF交BD與E.求證：AF⊥BD.

分析：證明兩線段垂直，只需證明交角是90°.因為這個角在△ABE中，所以只要證明∠EAB+∠EBA=90°，而題中∠1+∠EAB=90°，所以只要證∠1=∠3即可.

證明：如圖2，過點A作∠BAC的平分線交BD于M.

又因為∠1+∠BAE=90°，所以∠3+∠BAE=90°，所以∠AEB=90°，即AF⊥BD.

總之，數學解題教學中，應就題目的目標、內容、結構、特征等采用一題多解、多題一解、一題多變、一題多用、一題多聯，進行不同方面、不同角度、不同層次的分析、探索，其效果必勝于“寧多勿缺”的大運動量的機械重復.