探索在函數單調性下求參數取值范圍的策略

☉福建省泉州市南安僑光中學 陳良達

探索在函數單調性下求參數取值范圍的策略

☉福建省泉州市南安僑光中學 陳良達

我們知道以函數為載體，考查函數的基本性質一直是高考的命題熱點，而在函數考查中又往往與參數相聯系，并在高考中有逐年加大難度的趨勢.本文嘗試著探索函數的單調性與參數的取值范圍間的關系.

函數單調性確定含參函數的參數取值范圍是一類探索性問題，這類問題主要轉化為恒成立問題或存在性問題中的求參數問題.而解決此類問題，主要通過轉化與化歸思想，把這類函數問題轉化為含參不等式的恒成立問題或存在性問題，再根據其不等式的結構特征求參數取值范圍.本文通過例題來談談這類問題的轉化方法.

一、基本類型

1.轉化為含參不等式的恒成立問題

已知函數f（x）在x∈（a，b）上為增（或減）函數，求參數的取值范圍.

2.轉化為含參不等式的存在性問題

已知函數f（x）在x∈（a，b）上存在單調遞增（或遞減）區間，求參數的取值范圍.

策略：f（x）在x∈（a，b）上存在單調遞增（或遞減）區間?存在x∈（a，b）使得f′（x）≥0（或f′（x）≤0），但解題時需檢驗當參數取等號時是否滿足題意.

二、應用舉例

即a＜x2對x∈（1，+∞）恒成立.故a＜1.

錯誤剖析：上述錯解中認為函數f（x）在D上遞增?f′（x）＞0對x∈D恒成立.

2.正確解題策略

正解1：①當a＞0時，由學生解法1可知：0＜a≤1；

所以y=f（x）的遞增區間為（0，+∞）.故a≤0符合題意.

綜上所述：a≤1.

點評：用導數法求函數的單調區間，再由子集關系確定參數的范圍，該解法條理清晰，易于解題，但同時也要注意分類的數學思想方法，防止錯漏.

點評：利用導數符號將函數單調性關系轉化為 “恒成立問題”，該解法避開了分類討論的易錯點，但在轉化過程中f′（x）=0常常會被學生遺漏，要特別小心.

（2）若f（x）為R上的單調函數，求a的取值范圍.

解：（1）略.

所以f′（x）≥0對x∈R恒成立，即ax2－2ax+1≥0在R上恒成立.

所以Δ=4a2－4a≤0，結合a＞0，解得0＜a≤1.經檢驗a=1符合題意，故0＜a≤1.

點評：某區間（a，b）上連續可導函數的單調性與函數導數符號之間的關系為：若函數f（x）在區間（a，b）上單調遞增（遞減），則f′（x）≥0（f′（x）≤0），x∈（a，b），但解題時需檢驗當參數取等號時是否滿足題意.

1.常見錯誤解法

錯誤剖析：上述錯解中認為函數f（x）在D上存在單調遞增區間?存在x∈D使得f（x）≥0成立.

2.正確解題策略

（2）略.

點評：某區間（a，b）上連續可導函數的單調性與函數導數符號之間的關系為：若函數f（x）在x∈（a，b）上存在單調遞增（遞減）區間，則存在x∈（a，b）使f′（x）≥0（f′（x）≤0）成立，但解題時需檢驗當參數取等號時是否滿足題意.

總之，已知函數的單調性，求參數的取值范圍，不外乎兩種解題策略：一是求函數的單調區間，再由子集關系確定參數的范圍，該解法條理清晰，易于解題，但同時也要注意分類的數學思想方法，防止錯漏；二是利用導數符號將函數單調性關系轉化為“恒成立問題”或“存在性問題”，該解法避開了分類討論的易錯點，但在轉化過程中f′（x）=0常常會被學生遺漏，要特別小心.