抽絲剝繭——判別式法求函數值域剖析

☉江西省樟樹中學 李志紅 徐彩剛

抽絲剝繭
——判別式法求函數值域剖析

☉江西省樟樹中學 李志紅 徐彩剛

判別式法是高中求分式函數值域的常用方法．但由于許多學生對此方法的原理不很清楚，在解題過程中對一些條件不能正確地處理，從而導致解題出錯．

下面以幾個題目為例，說明判別式法的原理以及在使用過程中一些要注意的地方．

圖1

將原函數等價變形為關于x的方程：

因為Δ≥0，所以－4≤y≤1．再結合此分類的前提，所以－4≤y≤1且y≠（既然值域中任意的一個y都要滿足這些條件，所以它是值域的一部分）.

最后進行綜合，由（1）（2）可知，值域為［－4，1］．注：

1．本題的解法中解釋了Δ≥0的原因.

2．解題時要注意（*）式不一定是二次式，所以要記得討論二次項系數是否為0．

變式：在例1中增加一個條件：x≠－1，求函數的值域．

由例1的解答顯然有－4≤y≤1，

另外，如果我們把x=－1代入原函數可求出y=0，這就有個問題：x≠－1時是否要挖去對應的y=0呢？

這要看情況．

本題中y=0代入（*）式求得x=－1或3兩個根．所以即便x≠－1，仍可以由x=3代入原函數求出y=0，故不能挖去．

按照上面的分析思路，假如y=0代入（*）式只有一根x=－1，則要挖去對應的y的值．

下面我們再來看一個定義域不為R的例子．

解：分母不能為0，所以函數的定義域為{x|x≠－1，x≠3}．

將原函數等價變形為關于x的方程：

（1）當y=1時，x=－4，所以y可以取到1．

（2）當y≠1時，由題意知（*）式有根，且至少有一根不為3和－1．

即不允許出現下面三個圖所示的情況：

圖2

圖3

圖4

經驗證x=3和x=－1不是（*）式的解，所以上述三種情形不可能出現．

所以只需Δ≥0即可，以下計算過程略．

有些文章提到過分子分母有公因式的類型，筆者看來，此類題目最好約去公因式再去求最值．當然用判別式法解也可以，與上面例題求解方法上是一致的.

解：由x2+x－6≠0，得函數的定義域為{x|x≠2，x≠－3}.

將原函數等價變形為關于x的方程：

（1）當y=1時，代入（*）式求得x=－3，而定義域中x≠－3，因此y≠1.

（2）當y≠1時，由題意知（*）式有根，且至少有一解不為2和－3.

因為Δ≥0，所以y∈R.

剛才分析的幾個題目的定義域是R中挖去個別實數，那么如果挖去大塊區域怎么辦呢？我們看下一個例子.

圖5

對它進行變形得到關于t的方程yt2－t+y=0. （*）

所以（*）式有大于等于2的根.

在用判別式法求函數值域過程中出現種種問題，原因還是對該方法的原理不是很清晰而導致的.只有搞清原理，才能避免盲目套用，從容應對各種類型的變化.只有這樣，才算是真正掌握了這種方法.