基于新課程背景下的數學習題教學研究——以“二次函數的最值問題”教學為例

☉江蘇省南通市小海中學 秦洪銀

基于新課程背景下的數學習題教學研究
——以“二次函數的最值問題”教學為例

☉江蘇省南通市小海中學 秦洪銀

一、問題的提出

數學課堂教學離不開習題課教學，在當前新的課程改革大背景下，習題課教學也應堅持學科教學的新課程理念，將學生的主體性地位凸顯出來，引導學生在原有的認知基礎上準確把握數學思維方法，深化對核心數學概念的理解，通過同化和順應，使學生的認知結構得以轉化和發展，在習題解決過程中提高學生的解決問題能力，并發展學生的數學素養，實現“知、情、意、行”的和諧統一.筆者就這一課題一直在進行著思考，本文結合筆者的具體教學實踐，和大家就習題課教學相關問題作一探討．

二、教學案例呈現

“二次函數的最值問題”是一個最為常見的習題課素材，現在就這一課題的教學和大家分享筆者的做法．

1．從學生的最近發展區出發導入教學

設置問題：同學們根據前面的學習，請在草稿紙上試著畫一組二次函數的圖像，并分析你畫出的這些二次函數的圖像具有怎樣的特點.

這一做法摒棄了傳統的習題課一上來就是做題目的弊端，借助于復習鞏固二次函數的圖像和性質，很自然地導出習題課的主題，學生在作圖的過程中，筆者走到學生之間，通過巡視，發現問題并予以及時的指導．

2．小切口熱身訓練

在課題導入完成以后，筆者采用難度較低的問題引導學生進行熱身訓練．

例1 嘗試完成如下兩個小問題：

①函數f（x）=x2+2x+3的最小值為多少？（定義域為R）

②函數f（x）=x2+2x+3在［0，10］上的最小值和最大值分別為多少？（定義域為［0，10］）

學生通過這兩個小問題的解決，達到熱身并融入課堂的效果．

3．精選范例深化研究

在學生熱身完成后，應當提供可挖掘性例題引導學生層層思考，提高能力和數學素養．

例2求函數f（x）=x2－2x－3在區間［2，3］上的最小值．

該題學生也容易下手，筆者在學生解決的過程中，引導學生重點關注審題、看區間和借助于函數圖像進行求解的數學思想．在學生完成問題解答后，及時進行變式，引導學生進一步思考．

變式1：求f（x）=x2－ax－3在區間［2，3］上的最小值．

在學生完成問題解答后，筆者并沒有立刻結束，而是引導學生進一步反思．

反思：例2和變式1有什么差異，對這類變式我們應當如何處理？

通過反思性提問，讓學生再次回到習題之中，通過學生自主的總結與歸納，實現數學知識與方法的主動建構，從新課程的理念來看，這一過程是學生的自主行為，是教師的講授與灌輸所無法替代的，只有通過學生主體參與，知識和方法才會固化為學生的能力與素養．每個同學通過自己的反思都能夠得到一些新的東西，此時，應當乘熱打鐵，讓學生自主編題，實現知識與技能的升華．

4．學生自主編題，固化所學

引導：例題中的對稱軸和區間是確定的，而變式中的區間定、對稱軸動，你們能否自己改編一道題目呢？

在學生的交流匯報中，筆者發現學生利用課堂所學的能力在短時間內效果是明顯的，及時地強化，有利于學生有效地掌握知識和方法，對于上面的例題，筆者收集到的學生變式主要有如下幾個：

學生自主變式1：讓對稱軸定、區間動，如：求f（x）=x2－2x－3在區間［m，m+l］上的最小值.

學生自主變式2：求f（x）=4x－a·2x+1－3在區間［1，log23］上的最小值.

學生自主變式3：求f（x）=4x－a·2x+1－3在區間［m，m+l］上的最小值.

學生自主變式4：求f（x）=log22x－a·log2x－3在區間［4，8］上的最小值.

學生自主編題的過程是應用知識和思考方法的過程，同時這些題目的真實性和價值性高出了教師所給的習題，是學生主動參與學習的重要特征.另外，實踐表明學生思考自己的命題會更為認真細致．

三、幾點反思

1．習題課的設計思想應遵循新課程理念

習題課是學生應用課堂所學知識進行問題解決的課型，當問題無法解決時，學生會有緊張的感覺，特別是在高考模式下，升學的壓力不容忽視，因此我們的選題，必須考慮到學生的具體實際，問題的設置要有利于調節學生的學習情感，同時又要客觀地暴露出學生解題過程和方法上的問題或閃光點，教學過程中要增加師生互動，通過課堂巡視、相互交流等形式，有效地鞏固數學知識和數學思想方法，促進三維教學目標的達成．

2．確保學生的主體地位和教師的主導作用

盡管教師必須講解，但其目的主要是給學生作示范，帶動學生思考，所以教師要做好導演，把學生的積極性充分調動起來，使學生進入角色，保證學生的主體地位，教師切忌喧賓奪主．同時，教師要面向全體學生組織教學，特別要更多地關心學習困難學生的學習，及時給予幫助和指導．

3．注重例題資源的充分挖掘

習題課更要講究課堂教學效率，同時兼顧學生的可接受性．要注意變式處理，同時留足學生思維的時間和空間，通過變式訓練引導學生在互動中樹立生成性意識.此外，對于一道習題存在多種解決問題的方法的情況，注重解法的挖掘有利于學生思維能力的提升．

例如，筆者在另一節習題課“三角函數求值”中選擇了一道例題：

對于本題，學生基本上都可以完成解答，不過學生不一定能將多種解法想全面，筆者在教學中引導學生從以下角度進行總結，通過思路的引導，讓學生解決問題具有方向性．

思路1：以求α的函數值為主線．

思路2：以求2α的函數值為主線．

有了具體的思路，在方法手段上則讓學生各顯神通，通常借助于因式分解的變換、弦化切的變換、降次變換等手段，將已知式化為單個的三角函數值后，再結合倍角公式與和角公式，得到所求的三角函數值．

總之，我們的習題教學，要讓學生感受到數學的嚴謹、抽象，切身體驗到高中數學的趣與美，借此提升學習數學的熱情和增強學好數學的信心．

1．劉銀耀．新課改條件下如何上好數學習題課［J］．考試周刊，2010（30）.

2.馬傳虎.淺談新課標下高中數學習題課教學［J］.中學教學參考，2010（26）．