關注教學設計細節 提高課堂教學實效——《平行、垂直關系的探究與證明》的教學設計與感悟

☉江蘇省寶應縣安宜高級中學 蔣利武

關注教學設計細節 提高課堂教學實效
——《平行、垂直關系的探究與證明》的教學設計與感悟

☉江蘇省寶應縣安宜高級中學 蔣利武

一、教材分析

立體幾何的內容就是幾何學發展的兩個主要方向的體現（綜合幾何與向量幾何的有機結合）．［1］《標準》在立體幾何部分，要求學生首先通過觀察實物模型、空間幾何體等，直觀認識和理解空間圖形的性質以及空間點、線、面的位置關系，并用數學語言表述這些性質．在此基礎上通過直觀觀察、操作確認得出空間點、線、面的基本性質，以這些基本性質作為推理的出發點，探索并證明空間點、線、面位置關系的一些其他性質．這種處理突出了空間圖形的探索、研究過程，幾何建模過程，合情推理與論證推理的結合．位置關系中平行與垂直又是兩類典型的問題，對學生空間想象能力的考查尤為突出，而空間想象能力的考查要求是：能夠根據題設條件想象并作出正確的平面直觀圖形，能夠根據平面直觀圖形想象出空間圖形，能夠正確地分析出圖形中基本元素及其相互關系，并能夠對空間圖形進行分解和組合．這一部分在高中教材體系中占有不可替代的地位．

二、教學目標

1．知識與技能

（1）進一步理解平行、垂直有關定理中的關鍵條件，掌握平行和垂直的判定定理和性質定理，提高推理判斷的嚴謹性和準確性；

（2）學習并體會讀圖的基本方法，提高對復雜圖形的分解組合能力和提取基本圖形的能力；

（3）解決立體幾何處理上出現的思維不嚴謹現象，提高邏輯思維的嚴密性．

2．過程與方法

（1）通過探究研討交流，讓學生在有關問題的分析與解決過程中提高邏輯思維能力、空間想象能力及化歸和轉化的數學思想的應用；

（2）關注分析推理這一證明處理細節，提高學生的分析、解決問題的能力．

3．情感、態度與價值觀

（1）發展學生把握空間圖形的能力，使學生更好地認識和理解人類生存的空間；

（2）發展學生的直覺能力，培養學生的創新精神；

（3）發展學生的推理論證能力、合情推理能力、運用圖形語言進行表達與交流的能力．

三、教學重難點

（1）關注學生的認知基礎，從容面對學生在立體幾何學習過程中遇到的困難，尤其是位置關系中平行與垂直的性質定理運用中的細節處理；

（2）尋求輔助線，實現推理論證中的輔助線的準確把握．

四、教學方法及教學設計意圖

1．教學方法

本節課的教學重點是幫助學生形成空間想象能力，實現嚴密推理．而要達到這一目的，必須讓學生參與到這些知識的發生、發展與應用的全過程．采用多媒體PPT課件動畫演示等輔助教學的方法，使學生進一步了解平行、垂直關系的基本性質以及判斷方法，通過自己的實踐與體驗，發現、確認有關空間幾何圖形中平行、垂直的一些主要的結論，真正實現合情推理與演繹推理的有機結合．

2．設計意圖

立體幾何中平行與垂直的把握是一個漸進（對某些同學而言甚至是漫長）的過程，需要學生經歷直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等探索的過程，這需要一定的時間內轉化到學生已有的認知結構中去．在教學設計中利用導學案媒介，針對學情，靈活處理教學活動的各個環節在高三復習課中的細化要求，真正發揮學生主體作用，營造生動課堂、生本課題、生成課堂、生長課堂．

五、教學過程

1．設計情景，引入本課

2012年江蘇高考數學學科《考試說明》中，明確要求“重視數學基本能力和綜合能力的考查”．數學基本能力主要包括空間想象，抽象概括，推理論證，計算求解，數據處理這幾方面的能力．立體幾何是對“空間想象、推理論證、計算求解”三大能力考查的集中體現，是歷年高考重點內容之一，而且容易得分．但同學們仍然存在“空間想象能力不強、推理論證能力不強、圖形識別不清、輔助線無法準確確定、書寫表述不規范不嚴謹”等問題．以上問題中在平行與垂直關系中體現最集中，利用本節課再與大家就以上問題進行探討、交流.

設計意圖：從考試研究的角度對高三學生進行立體幾何考查的重點與易錯點進行探討，激發學生的學習熱情和興趣，提高學生的求知欲望和課堂關注率.

2.自主探究，提煉方法

問題①：平行、垂直關系的判斷

例題：設α和β是不重合的兩個平面，m，l是不重合的兩條直線，給出下列命題：

（1）若平面α內的兩條直線分別平行于β內的兩條直線，則平面α平行于平面β；

（4）若m∥α，l?α，則m∥l.上面命題中，真命題的序號是______.

設計意圖：這類題為高考?？碱}型，其實質為多項選擇.主要考查空間中線面之間的位置關系，要求熟悉有關公理、定理及推論，并具備較好的空間想象能力，做到不漏選、不多選、不錯選，有一定難度.

通過這一小題的處理能讓高三學生形成：解決這類問題的基本策略［2］；正確轉換符號語言、圖形語言與文字語言；構造并利用具體模型（比如長方體），直觀感知，操作確認；熟練運用4條公理、3條推論和8條判定與性質定理來判斷空間位置關系，通過證明或舉反例來確定命題的真假.

學生1：這類題目我們用身邊的筆比作直線、書本看成平面進行比劃，再結合有關定理就可以一一解決了，只有（3）是真命題.

教師：以上四個線面關系判定主要考查大家對教材中涉及到平行與垂直有關定理的理解和掌握，我們要進一步理解相關定理中的關鍵條件，要學會提煉關鍵詞.

學生2：（1）中的關鍵詞是“相交”.

學生3：（2）中的關鍵詞是兩條“相交”直線.

學生4：（4）中的關鍵詞是“交線”.

教師：這類題型是填空題的?？碱}型，要能夠正確轉換符號語言、圖形語言與文字語言；構造并利用具體模型，直觀感知，操作確認；熟練運用定理來判斷空間位置關系，通過證明或舉反例來確定命題的真假.當然要注意不把平面幾何結論簡單類比到空間立體幾何中來.

3.數學運用，深化理解

問題②：平行與垂直關系的證明

例題 蘇教版《必修2》第62頁第17題改編：A1EM⊥面AC1D？

圖1

若存在，指出點M的位置；若不存在，說明理由.

設計意圖：這是《必修2》第62頁第17題的改編題.主要考查正三棱柱中的線面垂直和線面平行，實際上，還可以證明平面A1EB∥平面ADC1，平面ADC1⊥平面BB1C1C.與2009年江蘇卷第16題相近，選此題旨在通過探討可以進一步讓學生體會處理立體幾何問題的常見操作流程（即先識別圖形、圈畫關鍵條件、正確使用定理、合理探求輔助線、準確表述定理處理條件，實現完美推證），同時提醒學生對教材的關注，重視教材并能用好教材.

問題1：讀題、識圖，能得到哪些線線、線面和面面的位置關系（平行與垂直）？

設計意圖：培養學生讀題、識圖的習慣，突出破題指導，讓學生養成良好的解題習慣.

學生5：底面是正三角形、側棱垂直于底面，D點是BC的中點.

學生6：平面A1EB∥平面ADC1，平面ADC1⊥平面BB1C1C.

問題2：若E是邊B1C1的中點，能否推出A1E∥面AC1D.下面以小組為單位實施討論，并派出代表為大家展示證明過程.

設計意圖：回歸教材，讓學生感悟教材的重要性，同時了解學情，看看學生對線面平行的判定定理的掌握如何，為下面問題的解決做好鋪墊.

學生小組討論……

學生7（黑板板演）：證明：在正三棱柱ABC—A1B1C1中，CC1⊥面ABC，AD?面ABC，所以AD⊥CC1.又因為AD⊥C1D，CC1DC1=C1，所以AD⊥面BB1C1C，所以AD⊥BC.

△ABC是正三角形，即D是BC在中點.連接DE，E是B1C1的中點，則DECC1AA1，所以四邊形A1ADE是平行四邊形.

所以A1E∥AD，而AD?面ADC1，所以A1E∥面ADC1.

師生共同分析，回顧該同學證明過程（尤其在使用定理進行推理時的嚴密程度）.

教師：很好！這個小組的代表，展示了完整的證明過程，為所有同學提供了示范.其實立體幾何的證明：我們要抓住關鍵，實現嚴密推理（每個推理均是一個三段論），尤其是條件沒有給出的關系使用時必須推證，千萬不要跳步，這樣才能做到拿滿分.下面我們回到本題上來.

教師：（1）如果A1E∥面AC1D，求證：E是邊B1C1的中點.這是教材問題的逆命題，我們怎么處理？

學生8：如圖2，連接DE.

因 為A1E∥ 面 AC1D，A1E∥ 面AC1D∩面AA1ED=AD，所以A1E∥AD.

學生9：這種證明有問題，為什么四點A，A1，E，D共面呢？連接DE，如果形成面AA1ED，只有在“E是邊B1C1的中點”條件下才能成立！

教師：對呀！我們實施推理論證

的過程就是對每一位同學的邏輯推理能力的一個考查，而整個過程就是由一個個邏輯鏈連接而成的，有一個連接鏈出問題，整個論證就會失?。ㄎ覀兏苊庥媒Y論證結論即循環論證的現象）.那本題的關鍵是什么？

圖2

學生10：本題的關鍵是用好A1E∥面AC1D這個條件，就是線面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行.

教師：對了，怎樣作出過A1E的一個面，進而得到面與面的交線？

學生11：連接A1C交AC1于G，連接EC交DC1于H，交線為GH.

由于A1E∥面AC1D，故A1E∥GH.由于G為AC1的中點，則H為C1D的中點，在側面矩形BB1C1C中，△EC1H≌△DCH，由于D點是中點，故E是邊B1C1的中點.

（教師可以同步在PPT上或者黑板上作出相應圖形，尤其輔助線的作法這一證明細節要交代清楚）

教師：很好，這位同學緊扣“線面平行到線線平行”這一主線，整個過程閃耀著理性思維的光芒（注重賞識教育）.空間點、線、面的基本性質，是我們實施嚴密推理的出發點，探索并證明空間點、線、面的位置關系將考量每位同學的推理論證能力、合情推理能力、運用圖形語言進行表達與交流的能力.下面接著再看本題的第二問.

教師：這是一個探究類問題，處理這類問題的突破口在哪里？

學生沉思……

（給足學生思考的空間和時間，讓學生去聯想、探索，從真正意義上完成對知識的建構）

學生12：利用面A1EM⊥面AC1D，尋找平面A1EM的垂線，其實通過開始的識別圖形我們就知道A1E⊥C1D了，所以只要在矩形BB1C1C中滿足EM⊥C1D即可，如圖3.

下面只要通過計算就可以解決了.

教師：本題的探究關鍵是找到點M，再作論證，對于未知點一定要通過輔助線來實現，這是我們突破這個問題的最大障礙，某同學從如何突破思維障礙到探究論證問題，進行了詳盡的說明（尤其是抓住一面的垂線這一關鍵點值得我們好好學習）.在解答問題的過程中，分析有理有據，反應出他的邏輯思維品質很好.

當然本題還涉及到化歸數學思想，特別是將立體幾何問題轉化為平面幾何問題的思想意識和方法，對提高空間想象能力、推理能力和計算能力都是有很大幫助的.下面將本題的完整過程整理出來.（學生整理略）

圖3

教師：若E不是中點（但A1E⊥側面BB1C1C不變），如C1E=2，又如何？

學生：這還是在側面矩形BB1C1C中滿足EM⊥C1D即可，下面以算代證即可.

教師：以多面體為載體，考查線線、線面、面面的平行與垂直的判定與性質，是重點題型.此類題既可以考查幾何體的概念和性質，又能考查空間的線面關系，還有可能結合一些簡單的運算，比較全面地考查學生的能力.相信大家通過本題的研究一定會有所收獲！

4.課堂小結，總結提升

（1）用好平行、垂直定理中的關鍵條件，保證嚴謹推理；

（2）仔細讀題，準確識圖，形成圈畫、標注關鍵詞、分解組合圖形、提取基本平面圖形的解題觀念；

（3）推理證明要凸現關鍵詞、關鍵步驟，嚴防“對而不全”現象的發生.

六、教學感悟

高三數學課堂如何真正的提高實效，只有教學內容的針對性、落實課堂教學的參與性效果才會更好.課堂教學通過學生自主讀題、識圖、破解題目（尤其是根據題目條件能夠得到哪些結論，讓學生對解決題目有一個知識儲備），為教師組織后面的教學提供一個診斷，進一步加強了教學的針對性.

本節課中解決了：證明或探究空間中線線、線面、面面平行與垂直的位置關系.一要熟練掌握所有判定定理與性質定理，梳理好各種位置關系的常見證明方法，如證明線面平行，既可以構造線線平行，也可以構造面面平行，而證明線線平行常用的是三角形中位線性質，或構造平行四邊形；二要用分析與綜合相結合的方法來尋找證明的思路；三要注意表述規范，推理嚴謹，避免使用一些雖然正確但不能作為推理依據的結論.

本節課選擇了教材中的一道習題作為展開討論的基礎，旨在培養學生多關注教材.當然對教材的研究和把握還有很長的路要走，需要師生們共同努力，并為之奮斗！

1.2009年江蘇省普通高中數學課程標準教學要求.

2.2011年內蒙古自治區赤峰市高中全員培訓，高中立體幾何教學設計，金釗.