『失敗』的『新』發(fā)現(xiàn)

☉江蘇省揚州市邗江區(qū)蔣王中學 王 躍 曹松青

『失敗』的『新』發(fā)現(xiàn)

☉江蘇省揚州市邗江區(qū)蔣王中學 王 躍 曹松青

一、問題生成

在聽一節(jié)數(shù)學復習課時，有些感悟，與大家共賞.下題為課上一道例題：

已知1，x1，x2，2成等差數(shù)列，1，y1，y2，2成等比數(shù)列，則點P1（x1，y1）、P2（x2，y2）在直線y=x的上方還是下方？

課堂上，老師直接運用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義分別計算出x1、x2、y1、y2的值，一路輕車快馬，很快便判斷出點P1（x1，y1）、P2（x2，y2）在直線y=x的下方.

直覺告訴筆者此處定然別有洞天，本以為教者會系舟登岸，引領筆者和學生到此一游，可這位船長卻認為無甚風景，命令開往另處.只可惜“艦機輕輕過”之時，良機也輕輕過去了.心中也因此有了一個結，一時難以釋懷，課后便獨自踏上了探究之路.

二、問題探究

路在何方？當然不能走純計算的老路，圖像法自是首選.顯然從函數(shù)圖像的角度來看等差數(shù)列的通項公式an=a1+（n－1）d及等比數(shù)列的通項公式an=a1qn－1，二者皆有鮮明的幾何形象.故只需在直線及函數(shù)y=a1qx－1的圖像上適當取一些離散的點即可.

如圖1，在直線y=x上取點A（1，1），B（2，2），再取線段AB的三等分點C1、C2，則由題意及等差數(shù)列的相關概念知C1、C2的坐標分別為 （x1，x1）、（x2，x2），過C1、C2點分別作x軸的垂線交函數(shù)y=a1qx－1的圖像于點P1、P2，則由題意及等比數(shù)列的相關概念知點P1、P2的坐標分別為（x1，y1）、（x2，y2），由圖便可直觀地看出點P1（x1，y1），P2（x2，y2）在直線y=x的下方.

圖1

進一步思考：若b＞a＞0，且a，x1，x2，…，xn－1，b成等差數(shù)列，a，y1，y2，…，yn－1，b成等比數(shù)列，則點Pi（xi，yi）（1≤i≤n－1）在直線y=x的上方還是下方？

通過類比可作大膽猜想：點Pi（xi，yi）（1≤i≤n－1）在直線y=x的上方，即xi＞yi.

不妨設上述等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，

若a，b，s，t皆為正數(shù)，且s+t=1，則有as+bt≥asbt. ②

②式僅是猜想，尚需證明.

考慮到不等式②與著名的伯努利不等式結構上的相似性，故嘗試用伯努利不等式證明.

附伯努利不等式：設x＞1，a∈R，

至此證明大功告成.此不等式可謂簡約而不簡單，更令人驚奇的是它竟可視為基本不等式的推廣.

數(shù)學的簡潔美、統(tǒng)一美由此可窺一斑.

三、問題反思

面對如此神奇的不等式，不由心生疑惑：是它一直“養(yǎng)在深閨無人識”還是筆者孤陋寡聞？在疑惑中，成就感和幸福感油然而生.隔日到圖書館一查資料，方知原是赫爾德不等式的變形.甚是失望，但轉念一想：筆者的發(fā)現(xiàn)之路若與大師不同，則有個人特色，自是別開生面；若是歷史的重演，則大師“于我心有戚戚焉”.這樣想來，不免自鳴得意.回首發(fā)現(xiàn)之旅，從特殊到一般，以有涯逐無涯，從顯在的線索追尋潛在的真相，其間苦樂參半，好不艱難！何等痛快！而最終簡單的問題竟包含著深刻的思想和方法，不由唏噓不已，浮想聯(lián)翩：

倘若筆者沒有一點“不走尋常路”的決心，恐會“入寶山而空返”；

倘若以為研究下去可能會吃別人嚼過的饃，沒意思，則也不會有如此獨特的心靈搖曳；

倘若那位上課教師能夠不囿于讓學生解出題目，而是以“解法不優(yōu)誓不休”的信念，充分挖掘問題中的教學資源，引領學生經歷“一場場風霜雪雨”，繼而“踏平坎坷成大道”，則學生的創(chuàng)新能力也必然在其間潛滋暗長；

倘若學生把這種數(shù)學的思維方法內化為一種習慣，把在探究中形成的堅韌、執(zhí)著內化為一種品格，也必將受用終身；

倘若筆者現(xiàn)在去講課，再也不會輕易選擇難題讓學生去探究.因為那樣，大多數(shù)學生常常因為門檻太高而袖手旁觀.自己可能只抓來一些小題，如烹小鮮般的加以料理，希望它魚小味不小，也希望學生吃得津津有味.更希望他們在以魚為食的同時，以漁立業(yè).

倘若筆者不去聽課，便不能換個角色以聽課者的眼光去發(fā)現(xiàn)問題.事實上，發(fā)現(xiàn)問題遠比解決問題重要得多，當我們在教研中苦于找不到研究課題時，不妨去聽聽課，課堂永遠是蘊藏問題的寶庫.