2012年高考數學的知識總結——排列、組合和概率

☉江蘇省泗洪中學 孫艷艷

2012年高考數學的知識總結
——排列、組合和概率

☉江蘇省泗洪中學 孫艷艷

2012年高考數學對概率部分主要考查了古典概型、幾何概型，考查了相互獨立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式以及離散型隨機變量的概率分布，考查了數學期望和方差的求法．單純對排列組合的考查一般在客觀題中出現，解答題中對排列組合的考查往往以概率題為載體.排列、組合和概率題整體平穩，難度較往年有所降低.

一、方法技巧

1.解排列應用題的主要方法：若沒有限制條件一般用直接法，若存在限制條件的問題，根據不同的題型可采用間接法.具體如下：①每個元素都有附加條件的采用列表法或樹狀圖法；②有特殊元素或特殊位置的要對特殊元素和特殊位置優先考慮；③相鄰問題用捆綁法；④不相鄰問題用插空法.

2.組合問題常有以下題型：①“有”或“沒有”某些元素的組合問題：“有”某些元素的話，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“沒有”某些元素的話，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中選取.②“至少”或“至多”或“最多”含有幾個元素的題型：解決這類題必須十分重視“至少”、“至多””、“最多”這些關鍵詞的含義，謹防重復與漏解.對于這類問題用直接法和間接法都可以求解，但是如果用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理.

3.古典概型的計算方法，要分清基本事件總數n與事件A包含的基本事件數m.

4．幾何概型求解的概率問題和古典概型的思路是相同的，同屬于“比例解法”．隨機事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的圖形的長度、面積、體積等”與“試驗的基本事件所占的總長度、總面積、總體積等之比來表示”.

5.互斥事件有一個發生的概率：P（A＋B）＝P（A）＋P（B）.特例：對立事件的概率：P（A）＋P（B）＝P（A＋B）＝1.

二、高考真題——排列、組合問題

例1 （2012年高考新課標理2）將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，不同的安排方案共有（ ）.

A.12種 B.10種 C.9種 D.8種

解析：先安排老師有A12=2種方法，再安排學生有C24=6種方法，所以共有12種安排方案，選A.

點評：這是一道排列、組合相結合的題目，準確把握題意是解題的關鍵.

例2 （2012年高考浙江理6）若從1，2，3，…，9這9個整數中同時取4個不同的數，其和為偶數，則不同的取法共有（ ）.

A.60種 B.63種 C.65種 D.66種

解析：從1，2，3，…，9這9個整數中同時取4個不同的數，其和為偶數的取法分為三類；第一類是取4個偶數，即C45=5種方法；第二類是取2個奇數，2個偶數，即C2C2=60種方法；第三類是取4個

54奇數，即C44=1種方法.故有5+60+1=66種方法.故選D.

點評：兩個計數原理是解決排列組合問題最基本的依據，所以我們先分類，每一類中用了組合的知識.本題需要注意的是只取不排.

例3 （2012年高考遼寧理5）一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數為（ ）.

A.3×3！B.3×（3！）3C.（3！）4D.9！

解析：此排列可分兩步進行，先把三個家庭分別排列，每個家庭有3!種排法，三個家庭共有3!×3!×3!=（3!）3種排法；再把三個家庭進行全排列，有3!種排法.因此不同的坐法種數為（3!）4，答案為C.

點評：本題主要考查分步計數原理，考查分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題.

三、高考真題——概率問題

例4（2012年高考遼寧理10）在長為12cm的線段AB上任取一點C.現作一矩形，領邊長分別等于線段AC、CB的長，則該矩形面積小于32cm2的概率為（ ）.

解析：設線段AC的長為xcm，則線段CB的長為（12－x）cm，那么矩形的面積為x（12－x）cm2，

點評：本題主要考查函數模型的應用、不等式的解法、幾何概型的計算，以及分析問題的能力.屬于中檔題.

圖1

點評：本題目是概率與線性規劃、平面幾何的整合的幾何概型問題.很明顯概率的求法需要用到兩個圖形的面積之比.

例6（2012年高考湖南理17）某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數據，如表1所示.

一次購物17件及以上顧客數（人） x 30 25 y 10量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件結算時間（分鐘/人） 1 1.5 2 2.5 3

已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55%.

（1）確定x，y的值，并求顧客一次購物的結算時間X的分布列與數學期望.

（2）若某顧客到達收銀臺時前面恰有2位顧客需結算，且各顧客的結算相互獨立，求該顧客結算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率.（注：將頻率視為概率）

解析：（1）由已知，得25+y+10=55，x+y=35，所以x=15，y=20.

該超市所有顧客一次購物的結算時間組成一個總體，所以收集的100位顧客一次購物的結算時間可視為總體的一個容量隨機樣本，將頻率視為概率得：

（2）記A為事件“該顧客結算前的等候時間不超過2.5分鐘”，Xi（i=1，2）為該顧客前面第i位顧客的結算時間，則P（A）=P（X1=1且X2=1）+P（X1=1且X2=1.5）+P（X1=1.5且X2=1）.

由于顧客的結算相互獨立，且X1，X2的分布列都與X的分布列相同，

點評：本題考查概率統計的基礎知識，考查分布列及數學期望的計算，考查運算能力、分析問題的能力.第（1）問中根據統計表和100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55%知25+y+10=100×55%，x+y=35，從而解得x，y，計算每一個變量對應的概率，從而求得分布列和期望；第（2）問，通過設事件，判斷事件之間的互斥關系，從而求得該顧客結算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率.

預測2013年高考，排列、組合及排列、組合與概率的綜合應用問題仍是高考的重點，至少出現一道解答題，重點考查學生的運算能力與邏輯推理能力．猜想在2013年的高考題中客觀題仍然可能考查單純排列、組合問題，而概率問題將放在解答題中考查，試題難度不大，但背景比較新穎.理科出現隨機變量，難度比文科大.命題方向以分類思想為主.對古典概型求概率、獨立重復試驗、事件的相互獨立性考查的幾率大大增加，所以復習時要有針對性.