函數中易混概念剖析

☉江蘇省天一中學 何愛君

函數中易混概念剖析

☉江蘇省天一中學 何愛君

函數是高中數學的重點內容，貫穿高中數學的始終，各個章節都能見到函數的身影，且數學概念千變萬化，給人的感覺不盡相同.解題中由于不能準確地區分概念的內涵和外延，常使解題出現錯誤，本文以函數中易混淆的幾對概念舉例說明，供參考.

一、“定義域”與“恒有意義”

二、“值域為D”與“f（x）∈A恒成立”

三、“D內有解”與“解在D內”

例3 關于x的方程x2－2mx+m2－1=0的解在區間（2，5）內，求m的取值范圍.

錯解：易求得x1=m－1，x2=m+1，由題意有2＜m－1＜5或2＜m+1＜5，即3＜m＜6或1＜m＜4，故1＜m＜6.

錯因剖析：“方程f（x）=0在D內有解”中只要求方程f（x）=0在D內至少有一解就可以了，并不要求方程的所有解都在D內；“方程f（x）=0的解在D內”中要求方程的所有解均在D內.本題屬于解在區間內的問題.

四、“f［g（x）］的反函數”與“f－1［g（x）］”

數u=g（x）代入函數f（x）中得到關于x的解析式y=f［g（x）］，再求其反函數，而f－1［g（x）］是先求得函數y=f（x）的反函數y=f－1（x），再將u=g（x）代入即得.

錯誤在于分不清“f－1（x+1）”與“f（x+1）的反函數”兩個概念的差別.f－1（x+1）是f－1（x）在x+1處的函數值，而“錯解”求的是f（x+1）的反函數（即y=x3－1）.

綜上，因為概念混淆造成的錯解問題屢見不鮮，本文拋磚引玉以期提高我們的警戒，請同學們在學習過程中不斷歸納總結，以便減少錯誤的發生.

錯因剖析：“f［g（x）］的反函數”與“f－1［g（x）］”兩個概念有實質的區別，體現在求法上的不同是：f［g（x）］的反函數是先將函