導數中一類問題的規律探討

☉江蘇省南通市通州區二甲中學 代宗山

導數中一類問題的規律探討

☉江蘇省南通市通州區二甲中學 代宗山

導數問題現在成了高考考查的熱點，導數是研究函數性質：單調性、極值與最值的重要工具.每年高考考查導數問題是以導數為載體，結合函數、不等式、方程這條高中數學主線來考查，而且在導數考查中，往往設置了參數，涉及分類討論，對學生思維能力要求很高.所以，成也導數，敗也導數.

雖然導數題目涉及三次函數、指數函數、對數函數等眾多函數，但有一類問題的規律是求導后函數是一個二次函數，或者可以歸結為二次函數，下面舉例說明.

一、二次函數形式

例1 （2012年北京卷改編）已知函數f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx，當a2=4b時，求函數f（x）+g（x）的單調區間，并求其在區間（－∞，－1］上的最大值.

點評：求出h′（x）=0的兩個根，注意兩個根與區間值-1的大小關系，由此展開討論，這一點是此題的關鍵之處.

例2 （2011年全國卷改編）已知函數f（x）=x3+3ax2+（3－6a）x+12a－4（a∈R）.若f（x）在x=x0處取得最小值，x0∈（1，3），求a的取值范圍.

解：（法一） 從函數極值點即方程的根入手，建立基本關系.由f′（x）=0得3x2+6ax+3－6a=0，其Δ=4a2+8a－4.

二、對數函數形式

點評：以上三種解法從不同的角度揭示了參數對函數零點的影響，三種解法緊緊扣住了函數、不等式、方程三者的內在聯系進行轉化.

三、混合函數形式

又h（1）=0，所以當0＜x＜1時，h（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）單增；當x＞1時，h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）單減.所以，增區間為（0，1）；減區間為（1，+∞）.

點評：第2問分析：（1）求導后，由于求不出極值點，由此陷入困境.怎么辦呢？要對導函數進一步研究，自然想到再求導；（2）求導后h′（x）＜0，所以h（x）在（0，+∞）單減，注意我們是要判斷f（x）的正負即h（x）的正負；（3）注意x趨于0時，h（x）＜0，x趨于+∞時，h（x）＞0，函數h（x）的零點在哪？ h（1）呼之欲出.

通過以上幾例可以看出，如果求導后的函數是一個二次函數，或可以化成二次函數，抓住函數極值點是單調區間的分界點，實際上就是函數的零點，方程的根這一點，從此切入，并善于在函數、方程、不等式不斷的轉換中解決問題.在問題的不斷的轉化中，尋找解決問題的契機，以此尋求問題的解決.