對2012年高考湖北卷（理科）壓軸題的思考

☉江蘇省灌云縣楊集中學 蘇 勇

對2012年高考湖北卷（理科）壓軸題的思考

☉江蘇省灌云縣楊集中學 蘇 勇

題目：（2012年高考湖北卷（理科）壓軸題）（Ⅰ）已知函數f（x）=rx－xr+（1－r）（x＞0），其中r為有理數，且0＜r＜1.求f（x）的最小值.

（Ⅱ）試用（Ⅰ）的結果證明如下命題：設a1≥0，a2≥0，b1，b2為正有理數，若b1+b2=1，則a1a2≤a1b1+a2b2.

（Ⅲ）請將（Ⅱ）中的命題推廣到一般形式，并用數學歸納法證明你所推廣的命題.

注：當α為正有理數時，有求導公式（xα）′=αxα－1.

例1 （2012年高考湖南卷（理科）第22題）已知函數f（x）=eax－x，其中a≠0.

（1）若對一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值范圍.

（2）在函數f（x）的圖像上取定兩點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2），記直線AB的斜率為k.問：是否存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）＞k成立？若存在，求x0的取值范圍；若不存在，請說明理由.

下面給出（2）的解答：