例談抽象函數問題的『原型』解法

☉湖北省孝感高中 幸 芹

例談抽象函數問題的『原型』解法

☉湖北省孝感高中 幸 芹

所謂抽象函數，是指沒有明確給出函數表達式，只給出它具有的某些特征或性質，并用一種符號表示的函數.研究抽象函數問題的解法，對教師的教學以及學生深刻理解并牢固掌握函數的相關內容有較大的促進作用.

抽象函數是由特殊的、具體的函數抽象而得到的，如y=kx（k≠0）滿足f（x+y）=f（x）+f（y），那么y=kx就可叫作抽象函數f（x）的“原型”函數.根據抽象函數的結構，聯想到已學過的具有相同或相似結構的某類“原型”函數，并由“原型”函數的相關結論，預測、猜想抽象函數可能具有的某種性質使問題獲解，我們稱這種解決抽象函數問題的方法為“原型”解法.下面給出高中階段幾種常用的“原型”函數，并結合近幾年全國各地的高考真題展現“原型”解法的實用性.

一、一次函數

若函數f（x）為R上的單調函數，且滿足f（x+y）=f（x）+f（y）－b，則f（x）的原型函數為一次函數f（x）=kx+b（其中k和b為常數，k≠0）.

例1（2008年重慶卷）定義在R上的函數f（x）滿足：對于任意的x1，x2∈R，總有f（x1+x2）=［f（x1）+f（x2）］+1，則下列說法正確的是（ ）.

A.f（x）為奇函數B.f（x）為偶函數

C.f（x+1）為奇函數D.f（x）+1為奇函數

解析：由條件，我們可猜測f（x）的原型函數為f（x）=x－1，故此題答案為C.

二、二次函數

若x∈R時，函數f（x）滿足f（A+x）=f（A－x），則f（x）的原型函數為二次函數f（x）=k（x－A）2+B（其中A、B、k均為常數，k≠0）.

例2（2009年陜西卷）定義在R上的偶函數f（x）滿足：對于任意的x1，x2∈（－∞，0］（x1≠x2），有（x2－x1）［f（x2）－f（x1）］＞0，則n∈N*時，有（）.

A.f（－n）＜f（n－1）＜f（n+1）

B.f（n－1）＜f（－n）＜f（n+1）

C.f（n+1）＜f（－n）＜f（n－1）

D.f（n+1）＜f（n－1）＜f（－n）

解析：此題中的f（x）為偶函數，并且在（－∞，0］上單調遞增，則我們可以選擇二次函數f（x）=－x2作為它的原型函數，故可得到f（n+1）＜f（－n）＜f（n－1），即可選C.

三、指數函數與對數函數

①若函數f（x）滿足f（x+y）=f（x）·f（y），則f（x）的原型函數為指數函數f（x）=ax（a＞0，a≠1）.

②若x＞0時，函數f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y），則f（x）的原型函數為對數函數f（x）=logax（a＞0，a≠1）.

例3（2007年山東卷）給出下列三個等式：

下列函數中不滿足其中任何一個等式的是（ ）.

A.f（x）=3xB.f（x）=sinxC.f（x）=log2xD.f（x）=tanx

解析：分析題意可以發現，f（x）=log2x符合等式①，f（x）=3x符合等式②，由兩角和的正切公式可知f（x）=tanx符合等式③，故選B.

四、三角函數

五、不拘一格，靈活多變

解決抽象函數的問題除運用以上所提到的四類常見的原型函數之外，我們還可以根據題目所給的具體條件，進行多種多樣的探索和嘗試.

抽象函數問題的“原型”解法，對選擇題和填空題特別有效，可以迅速解決問題；對于解答題，也可起到提示思路和檢驗結果正確性的作用.我們在平時的學習過程中，要多總結、多反思、多探索，當有新的原型函數出現時要及時收藏，從而壯大自己能夠靈活運用的原型函數的隊伍，提高解決抽象函數問題的本領，促進數學學習的各種能力.

例4（2011屆湖北省八校第一次聯考）已知奇函數f（x）滿足對任意的x∈R都有f（2+x）+f（2－x）=0，且f（1）=9，則f（2010）+f（2011）+f（2012）=________.

解析：由條件f（2+x）+f（2－x）=0可知函數f（x）的圖像關于點

1.江戰明，黃宗巧.讓“模特兒”在抽象函數中合法代言.數學通訊（教師版），2010，5.

2.李振福.由2009年高考題窺視抽象函數考查的新動向.中學數學月刊，2009，10.

3.趙建新.一類“恒等式型”抽象函數問題的求解.中學數學雜志（高中版），2010，1.