窺一斑而得全豹——從一道習題的解決談數學復習策略

☉江蘇省南通市通州區石港中學 何永峰

窺一斑而得全豹
——從一道習題的解決談數學復習策略

☉江蘇省南通市通州區石港中學 何永峰

一、例題呈現

已知圓C：x2+y2－2x+4y－4=0，試分析有沒有一條斜率為1的直線l存在，使得l被圓C截得的弦AB可以作為一個圓的過原點的直徑?如果該直線存在，試寫出其方程；如果不存在，請分析理由.

二、問題分析及常規解法

這道例題屬于探索型的題目，我們教師在實際的復習教學過程中，通常采用的是教學參考書或教輔資料上給出的參考解法，并灌輸給學生.

解法1：假設存在滿足條件的直線l：y=ax+b，設A（x1，y1），B（x2，y2），因為以AB為直徑的圓過原點，所以有OA⊥OB，得x1x2+y1y2=0. ①

解法評析：參考答案給出的這種解法初看上去屬于通解通法，與借助代數方法研究幾何問題的解析幾何最為基本的數學思想相吻合，本題借助于“設而不求”的方法，直接將題干中的條件“以AB為直徑的圓過原點”挖掘出來得“OA⊥OB”，再將A、B兩點坐標通過數形結合的方法等價轉化為等量關系式“x1x2+y1y2=0”.如果將題目中的情境圓換為圓錐曲線，解法上也是一樣的.不過回過頭去看這種解法，運算量大的缺點突顯，學生不容易想到，就是想到了也容易算錯.

筆者在教學過程中，用了以下兩種方法，使問題很快得到解決，同時也訓練了學生的思維能力.

三、另辟蹊徑

假設以弦AB為直徑并通過原點圓的方程是：x2+y2+Dx+Ey=0，其圓心的坐標為

得到直線l的方程為x－y+1=0或x－y－4=0.進一步檢驗，上述兩個方程滿足條件.

解法評析：將解法2與解法1進行對比可知，解法2相比而言解題的思路較為自然，運算量也比解法1有了明顯的減小，非常貼近于學生的實際，只要稍加引導，學生就可以想到這種方法，并且解答的正確率比較高，這有利于激發學生的成就感，并進一步化為學習數學的動力.

解法3：從高考的實際來看，源于課本高于課本是命題的重要特點，因此，在教學過程中應合理拓展，對于這道例題的解法，筆者適當地補充知識：如果直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0相交，則通過該直線與圓交點的圓系方程為（x2+y2+Dx+Ey+F）+λ（Ax+By+C）=0.如果從這一知識點出發，具體解法如下：

解法評析：該方法涉及的知識點是對課本知識的拓展，通過該方法的滲透，引導學生對教材中的或是練習中常見的問題進行反思，教學過程中對知識點進行適當補充有利于學生思維的發散性，在反思和比較的過程中一些優秀的解法就會自然地生成，學生的數學思維能力、解題能力得到提升，并最終化為成績的提高.

四、教學反思

教學目標尤其是高三復習課的目標在于鞏固和加深學生原有的知識，通過對問題的思考與解決，促進學生的知識趨于系統化，使學生構建完整的知識結構，在復習和解答問題的過程中，幫助學生深化數學思想，提升解決數學問題的能力，包括概括能力和運用數學知識的能力，在能力的培養過程中逐步樹立終身學習的良好習慣.

筆者在長期的教學實踐中有了深刻的體會，不管是新課教學，還是高三數學復習，都應該從學生的最近發展區出發，切忌在學生原有水平上簡單重復，需要有質疑的精神，要勤于分析參考答案的科學合理性，思考解題的捷徑和其他方法，切忌將學生訓練為機械模仿參考答案和存儲知識的容器.實踐表明，練不在多而在于精，因此，恰當適量地采用“一題多解”與“變式”教學，進行多角度的解題思路分析，探討解題規律和解題方法與技巧，對學生鞏固基礎知識，形成知識網絡，提高解題技能，發展邏輯思維，提高分析問題與解決問題的能力，會有明顯的效果.