習題寓意深厚 解法奇妙精彩——一道習題教學片斷引發教學取向的思考

☉甘肅天水市第一中學 宮前長

一、提出問題

高中數學課程標準實驗教科書《數學5》（人教A版）第二章“數列”，數列作為一種特殊的函數，是反映自然規律的基本數學模型.入門課就是“數列的概念與簡單表示法”，需要2個課時，上完此節的入門課后進行例題、習題處理，學生對教材第34頁B組第一題產生獨到的見解和深層次的理解，令我深刻地反思以后的教學該如何進行.

題目：下圖（如圖1所示）中的三個正方形塊中，著色正方形的個數依次構成一個數列的前三項.請寫出這個數列的前五項和數列的通項公式.

圖1

二、展示題目亮點

1.立意新穎.

教材中數列的引入總是采用圖形的個數進行的，即首先通過三角形數、正方形數的實例引入數列的概念，然后將數列作為一種特殊函數，構思精巧，立意新穎，包含著豐富的數學思想，這類問題有利于學生的觀察問題和分析問題的能力以及創新能力的提高，有利于開發學生的智力.要更好地解決此類問題的關鍵是找準入手點.

2.凸顯對學生自主探究能力的提升.

此題是數列第一節《數列的概念與簡單表示法》習題B組第一題，實質是創設一個數列情境，同時著重考查學生歸納猜想、合情推理的意識.歸納推理作為合情推理的一種常用思維方法蘊涵在高中數學教材中的每個地方，它是發現和獲取知識結論的重要方法，更是解決探究問題的有力工具.此題是由特殊到一般的歸納推理，通過觀察、分析、抽象和概況發現規律.

3.強化直覺思維.

觀察圖形是直覺思維能力得到提高的重要訓練方式.此題表征是對正方形個數，深層是對思維能力的考查，讓學生從不同的角度切入，運用不同的數學知識與方法，給學生提供了充分展示自己才華與能力的空間.同時，教學取向的重點放在探究與思辨能力的升上.

三、課前思考

數學學習絕不是孤立的學習.數學學習既要與現實生活聯系，又要加強數學內部之間的聯系.在通過實際問題引入數列概念后，教材對數列的函數背景進行了分析，指出通項公式實際可看做是數列的函數解析式.

在課堂上盡可能地讓學生經歷觀察、分析、猜想、抽象、概括、歸納、類比等發現和探索的過程，鼓勵學生說出各種可能的設想和猜測.

1.題目考查目標.

此題的考查目標是觀察圖形特征，給出數列的通項公式.查閱與教材配套的教學參考對此題提出：要注意引導學生對圖形表示數字規律的認識和發現，要培養從整體上去認識圖形規律的意識和能力.

2.解題思路分析.

思路1：觀察圖形特征，第一個正方形塊中著色正方形的個數是1，第二個正方形塊中著色正方形的個數是第一個正方形塊中著色正方形的個數的8倍加1，第三個正方形塊中著色正方形的個數是第二個正方形塊中著色正方形的個數的8倍加1，依次類推，可以得出第n個正方形塊中著色正方形的個數的遞推公式，進而推導出數列的通項公式.

思路2：觀察圖形特征，第一個正方形塊中著色正方形的個數是1，第二個正方形塊中著色正方形的個數是第一個正方形塊中著色正方形的個數加8，第三個正方形塊中著色正方形的個數是第二個正方形塊中著色正方形的個數加82，依次類推，可以得出第n個正方形塊中著色正方形的個數的遞推公式，進而推導出數列的通項公式.

3.學情分析.

學生剛學習了數列（入門課），能否將此題解決？對通項公式、遞推公式的理解處于剛認識的階段（沒有更多的數列知識儲備），但學生對圖形的直覺感受卻是有基礎的（函數圖像的認識和理解），解決問題是有希望的.

四、教學片斷回放

師：大家看看教材第34頁B組第一題：下圖中的三個正方形塊中，著色正方形的個數依次構成一個數列的前三項.請寫出這個數列的前五項和數列的通項公式.（通過實例引入數列概念時，舉例較多，學生對此題的認識和解答很好）

巡視時激勵、點撥學生從圖形的結構、放置方式、正方形的大小與個數等多方位進行觀察、聯想，尋找蘊涵的數學規律.

生甲：（學生自己積極舉手）老師，觀察前三個圖形，容易得到它們的正方形數目分別是1，9，73.

師：生甲你是如何快速算出第三個圖形中的正方形數？

生甲：我是將第三個圖形提出分層，提升位置成立體圖，變成金字塔狀進行計算：將其中的最大的一個正方形拔到最高處屬于第一層（塔頂）；再將周圍較大的八個正方形拔到較高位置屬于第二層；再將周圍較大的每個正方形周圍的最小的八個正方形拔到較高位置屬于第三層（塔底）.這樣就會得到a3=1+8+82=73（個）

師：生甲的思路和方法太精妙了！那么第四個、第五個圖形中的正方形數是多少？

生甲：a4=1+8+82+83（個）；a5=1+8+82+83+84（個）.（教室頓時響起掌聲！）接著高興地說了數列的通項公式是an=1+8+82+83+…+8n-1（個）.

師：學生甲的想法很好，能將二維平面圖形“升維”到三維空間圖形進行觀察，可謂思維敏捷，奇思妙想，以后大家要向生甲學習.那么大家思考a4、a5的值具體是多少？an的值又是多少？

隨意的一問，像一塊小石子投進了平靜的水中，許多學生提出采用冪和計算可以知道.但計算過程太繁，步驟太多，容易出錯，大家覺得不是好方法，自然an就無法進行冪和運算得到答案.

大家正在犯愁時，有位女生大聲喊起來：“我找到方法了！”

生乙：我觀察同學甲歸納出的通項公式，有新的發現，第三個圖形中的正方形總數的式子可以改寫為a3=82+8+1=111（8）=73（個），從而依次就有a4=83+82+8+1（個）=1111（8），a5=84+83+82+8+1（個）=11111（8），這樣做就能依據同學甲歸納出的通項公式的結構特征，借助進位制的思想將通項公式具體地表示出來，即an=111…11（8），其中有n個“1”.

師：能告訴大家你是如何聯想到進位制的記數方法？

生乙：看到同學甲的表述a4=1+8+82+83（個）；a5=1+8+82+83+84（個），我就想到進位制的知識，與將二進制的數轉化為十進制的數的計算形式一致，于是類比到這個數的表示上，得到a3=82+8+1=111（8），a4=83+82+8+1（個）=1111（8），就是這樣想出的.

話音一落，教室掌聲一片！

師：多么簡潔、簡單的表示，這正是數學追求的形式美.女同學就是細心，將前面學過的算法的二進制計數知識記得很清楚，又能靈活應用，可喜可賀！

正當大家處于學生甲、乙的精彩回答的興奮中，一位平時靦腆又性格孤獨的男生站起來！（教師用眼神示意他發表自己的看法）

生丙：我也從同學甲歸納出的通項公式，有新的發現，第三個圖形中的正方形總數的式子可以改寫為a3=1+8+82=a2+82=73（個），從而依次就有a4=83+a3（個），a5=84+a4（個），這樣做就能依據同學甲歸納出的通項公式的結構特征，借助相鄰兩項的關系將遞推公式具體地表示出來，即an=an-1+8n-1（個）.

師：學生丙能積極發表自己的看法就是進步，敘述的過程已經揭示了遞推關系與通項公式之間的一種轉換方法，提出表揚！只要大家認真觀察、多總結，就能從不同的角度獲得不同的認識.

……

師：今天這節課，大家對數列概念的形成和通項公式的歸納學得很好，尤其學生甲、乙做得更好，他（她）們對習題第34頁B組第一題的通項公式的歸納有獨到見解，非常精彩.以后大家多交流，多合作，一定會有新的發現、新的收獲！

說心里話，我翻閱教參，介紹用遞推公式可以求得通項公式，具體方法是從圖形進行觀察出這個數列的遞推公式an=8an-1+1，也就容易求得前五項.學生甲、乙和丙的方法完全是觀察、歸納、概括得到結論，沒有依照先尋找遞推公式，再進行歸納出通項公式的方法進行，完全消除了備課時的困惑和擔心，也體現出學生對數列的領悟能力，表現出來的思路、方法，令我非常高興、感動.

教學之后，心里總是被學生精彩的想法，完美的認識和簡單大氣升維的表示撞擊著.新教材的編寫專家精心打造精品，其中數與形的完美結合，在學生觀察思考后，產生出精妙的思想火花.再細細品讀教材中的習題，每一道都或多或少閃爍著編者獨具匠心的光芒.我深深地感到數學的無窮魅力與精彩.心中對教材的編排思路漸漸清晰了，不由得感謝新教材給教學帶來新的生機！

五、對教學的啟示

1.自主探究圖形放飛學生思維.

數學課堂是在嚴謹的思維邏輯、清晰的條理、簡潔的符號表示的過程中進行的，教師一定要用數學的魅力呼喚出學生對數學的原本思維，如在學生甲、乙說出正確答案后追問“你是如何快速算出第三個圖形中的正方形數”與“能告訴大家你是如何聯想到進位制的記數知識”，有意讓學生甲、乙回答自己的思維過程，其目的是強力“擠”出學生甲、乙的思維方法，強化學生進一步對問題的深刻領悟，喚醒學生對數學的直觀感悟和理性思維的交匯靈性.在教學中強化數列就是一種特殊函數的意識，同時也對前面例題2中的著色三角形個數與序號關系及其數量關系加深理解.

生乙在觀察同學甲歸納出的通項公式后，有新的發現：聯想到用類比二進制計數方式來表示十進制的數，即用八進制來表示問題中的每一項的正方形的個數，贏得了好多學生的掌聲.筆者當時也很興奮，油然想起“人的心靈深處都有一種根深蒂固的需求——這就是希望自己是一個發現者、研究者、探索者”（蘇霍姆林斯基語）.說明在數學教學中，多讓學生擁有更多的自由思考的時間和空間，多一些平等交流表達的機會，學生的思維會得到放飛.

對平時不善言談的學生丙要多鼓勵，能積極發言就是大進步，有利于學生思維的拓展和視野的開闊.為了更好地暴露學生的直觀思維，激勵、點撥學生從圖形的結構、放置方式、正方形的大小與個數等多方位進行觀察、聯想，目的是喚醒學生對數學認識的靈感.學生甲的“升維”寶塔的思維方式敘述地形象、逼真，學生乙的計數結構用類比二進制計數法顯得簡潔、美妙.唯有這樣，才能讓學生在某個問題、某種解法的精妙之中獲得樂趣，更能提升、錘煉學生學習數學的思維，強化由直覺思維自覺進入理性思辨，讓學生的數學思維在教育形態中不斷升華.

2.以“退”為“進”，“悟”出數學本質.

在教學中，只有加強數學知識內在的聯系，抓住數學的本質，突出概念的理解和運用、思維能力的培養，才能真正提升學生的數學素養.題目要求“寫出這個數列的前五項和數列的通項公式”，學生觀察圖形時，抓住了兩個關鍵的機會，一是抓住關鍵步驟一般化的思維方式；二是特殊條件（圖形特征）精致化.生甲是將第三個圖形作為“退”的最原始“點”（第一個、第二個圖形不能充分地體現出圖形特征）進行立體分層，提升位置成立體圖，變成金字塔狀進行計算，突出了圖形的特征，把復雜問題簡單化、精致化.生乙的計數結構用類比二進制計數法更能凸顯數學的精致和美妙，即對a3=82+8+1=111（8）=73（個），a4=83+82+8+1（個）=1111（8）；a5=84+83+82+8+1（個）=11111（8）等數的改寫，促進對得到的正方形數的八進制表示的“悟理”，很快歸納出an=111…11（8），其中有n個“1”.這完全印證了著名數學家華羅庚的“退”字解決問題的訣竅，“退”是方法、手段、途徑，“退”的目的是為“進”，關鍵取決于“悟理”.

學生解題經歷了從“形”的觀察、分析、歸納到“數”的代數式的表示，其中蘊涵著豐富的數學思想、方法和學生的聰明才華，這些是教學關注的重點.學生甲、乙精彩的巧思妙解來源于對問題更深入、更本質的認識，經歷了“退”、“悟理”、“進”的過程，有利于進一步強化對數列知識理解的深刻性、數列概念掌握的全面性、運用數列知識的靈活性等數學素養的養成.

3.研發課本資源，搭建成就學生平臺.

數學教學可以說是發展學生的思維能力的過程.對待教材熟悉平淡的例題、習題，一定要從有利于學生信心的提升、思維的展開上下工夫，將數學思想方法和新課程理念貫徹、落實其中，學生的理性思維就會自然得到提升.尤其是學生對問題的分析態度、探究的目光就會不斷地持續發展.如學生乙將數列的通項公式an=1+8+82+83+…+8n-1（個），類比用二進制的方法計數為an=111…11（8），其中有n個“1”是解題探究的一個亮點，看起來簡單，但要想到卻不容易，這樣拓展了二進制等進位制思想的解題功能.學生甲的“升維”寶塔思維方式從“平面”到“立體”，展現出了思維的開放性，點亮了師生思維的火花，讓數學教學在研發教材資源，做足“做數學”的“過程”中，更多地開拓出學生思維的一點“靈光”，激發、成就、喚醒學生，讓學生在數學課堂的學習中表現出無限的生機和活力，享受著數學學習的思維快樂，探究能力自然會得到進一步的提升.

在新課程數學教學中，學生的精彩表現，總是在頭腦中不斷地旋回，我深深感悟到：學生的奇思妙想凸顯著數學的精彩，編者的匠心寓意蘊涵新課程理念！又一次體會到德國教育家第斯多惠的一句名言：“教學的藝術不在于傳授本領，而在于激勵、喚醒、鼓舞.”