重視數(shù)列解題教學培養(yǎng)學生解題能力

☉江蘇省新沂市高級中學 丁金華

數(shù)列是高中數(shù)學的重點及難點，由于在測試學生邏輯思維能力和理性思維水平以及在考查學生創(chuàng)新意識及創(chuàng)新能力方面有不可替代的作用，2008年及以后的歷年考試說明中無一例外地將等差數(shù)列、等比數(shù)列列為C級考點要求.在高考中對數(shù)列的基本方法，基本技能的考察常常與函數(shù)、方程、不等式等其它知識綜合，考查學生在數(shù)學學習和數(shù)學研究中知識的遷移、組合、融匯等能力，近而考查學生的學習潛能和數(shù)學素養(yǎng)，為學生展現(xiàn)其創(chuàng)新意識及發(fā)揮創(chuàng)造能力提供了廣闊的空間.

一個專心認真?zhèn)湔n的教師要能夠拿出一個有意義的但不復雜的題目，去幫助學生發(fā)掘問題的各個方面，通過這道題，就像給學生打開一扇大門，把學生引入另一個完整的領域.鑒于以上的原因，非常有必要對數(shù)列的解題教學進行簡要的分析與總結.本文從幾個具體實例出發(fā)，就數(shù)列單元解題教學中要注意的幾點問題進行了簡單的梳理.

一、樹立函數(shù)觀念

雖然教材（即使是傳統(tǒng)教材）明確點明，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)，但從長期的教學實踐看，相當多的學生在解數(shù)列題時并沒有多少函數(shù)觀念，“數(shù)列是函數(shù)”似乎成了一句可有可無的點綴，這對提升解決數(shù)列問題的能力是一個莫大的損失.實際上，很多數(shù)學命題的出發(fā)點和著手點針對的就是數(shù)列是函數(shù)，函數(shù)在處理數(shù)列問題中經(jīng)常建立奇功.所以，數(shù)列的解題教學一定要堅持樹立函數(shù)觀念.

例1 已知兩等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別是An，Bn，且，則使an為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是（ ）.bn

A.2 B.3 C.4 D.5

顯然n取1、2、3、5、11時，滿足題意.應選D.

當然本題還可以使用中項公式法，此處就不再詳述.

二、融入數(shù)學模式

在數(shù)列的訓練題中，時刻關注引導學生據(jù)a1，d（q），n，an，sn幾個量之間進行知三求一或知三求二訓練，隨著學習的深入，我們應該越來越重視數(shù)學的模式化，由具體習題歸納出數(shù)學規(guī)律，重視學生從實際解題中抽象出數(shù)學模型的能力.在解題訓練中融入數(shù)學模式的內(nèi)容：知三求二是數(shù)列最為重要題型，處理時要使用方程或方程組，解題時要堅決，要自信.

例2 設無窮等差數(shù)列{an}的前n項和為sn.

（2）求所有的無窮等差數(shù)列{an}，使得對一切正整數(shù)k都有成立.

若a1=0，d=6，則an=6n-6.由s3=18，（s3）2=324，s9=216，知s9≠（s3）2，故所得數(shù)列不符合題意.

當a1=1時，代入②，得4+6d=（2+d）2，解得d=0或d=2.

若a1=1，d=0，則an=1，sn=n，從而sk2=（sk）2成立；

若a1=1，d=2，則an=2n-1，sn=1+2+3+…+（2n+1）=n2，從而sk2=（sk）2成立.

綜上，有三個滿足條件的無窮等差數(shù)列，an=0，an=1，an=2n-1.

三、重視思維轉換

特殊化、一般化、具體化、抽象化都是數(shù)列中常用的思維方式，對于比較抽象的數(shù)列問題要善于從特例入手，進行個別試驗，然后對試驗的結果進行分析、歸納、抽象、概括、作出猜想，再證明其正確性，即從特殊到一般.對于有些數(shù)列問題（比如數(shù)列應用題），如從特例入手，問題求解反而復雜，這時從一般入手（如尋求遞推關系或構造輔助數(shù)列）反而能使問題得到簡潔解法.因此，從“特殊到一般”、“從一般到特殊”甚至從“一般到一般”的轉換，構成數(shù)列解題的一大特色，解題教學要重視思維過程的轉換.

如上例題雖然不難，但“一般——特殊——一般”的轉換手法，恰恰是初學者所不習慣的，但又是學好數(shù)列所必備的，需要教師在解題教學中強化引導.

四、促進學生生成

引導學生參與公式、定理、解題方法的發(fā)現(xiàn)過程，并對發(fā)現(xiàn)過程進行反思，對培養(yǎng)學生的解題能力有著十分重要的意義，在數(shù)列解題教學過程中，對重要的解題方法和重要的解題結論的形成要有足夠的耐心，充分做好預設，促進學生自己生成.

例4 已知等比數(shù)列{an}第一項為a1，公比為q，求它的前n項和sn（即為推導等比數(shù)列前n項和公式）.

在處理本題時，多數(shù)同行的教學設計為類比等差數(shù)列求和公式的倒序相加法，給出本題的錯位相減法，并給出過程和結論.實際上，不要低估學生的探索能力，更不要急于完成課堂任務.把問題交給學生，付出足夠耐心和等待，教師將收獲足夠驚喜，學生會收獲足夠方法.

以下是學生經(jīng)分組討論，探究出的本題的三種解法的過程：

經(jīng)歷此番的探索和數(shù)學經(jīng)歷過程，同學們對等比數(shù)列前n項和公式的理解更為深入，以后對公式的應用一定會更加熟練.促進學生自主學習、合作學習、探究學習是新課改對每一位數(shù)學老師提出的新要求，作好充分的預設，促進學生自主生成，教師給之以舞臺，學生報之以驚喜.