大話『對(duì)號(hào)』函數(shù)的應(yīng)用

☉江蘇省泗洪中學(xué) 許 龍

大話『對(duì)號(hào)』函數(shù)的應(yīng)用

☉江蘇省泗洪中學(xué) 許 龍

一、函數(shù)y=ax+（a·b≠0）的圖像及性質(zhì)

圖1

通過圖像可直接得到函數(shù)的極值點(diǎn)、奇偶性、漸近線、單調(diào)區(qū)間等相關(guān)性質(zhì).下面利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)解題分析.

二、應(yīng)用舉例

例1 當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，不等式x2+mx+4＜0恒成立，求m的取值范圍.

分析：本題若將不等式的左邊視為二次函數(shù)，可以用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解，但需分類討論，解答過程較為繁冗，若借助對(duì)號(hào)函數(shù)的性質(zhì)可得如下簡解.

點(diǎn)評(píng)：本題在解答時(shí)，通過分離出參變量m用變量x表示，將問題轉(zhuǎn)化為求對(duì)號(hào)函數(shù)在區(qū)間（1，2）上的值域的問題，進(jìn)而求出參變量m的取值范圍，解答過程簡捷明了.

（1）當(dāng)a=4，f（x）在（0，2］上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，則在其定義域上，函數(shù)在［1，2］上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，故當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取得最小值f（x）min=6.

點(diǎn)評(píng)：本題中a的不同取值導(dǎo)致函數(shù)的單調(diào)區(qū)間發(fā)生變化，故當(dāng)函數(shù)取得最小值時(shí)，x的值不同.同時(shí)注意的是第（1）問可用均值不等式解答，第（2）問則不行.

例4設(shè)a∈R，若函數(shù)f（x）=2ax2+2x－a－3在區(qū)間［－1，1］上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：本題若運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)直接求解不僅運(yùn)算較為煩瑣，而且解答過程冗長，其實(shí)這里若運(yùn)用函數(shù)思想及分式的一個(gè)等價(jià)變形可得如下簡捷、巧妙的解法.

點(diǎn)評(píng)：本題在解答時(shí)借助等價(jià)轉(zhuǎn)化與函數(shù)方程的數(shù)學(xué)思想，將問題進(jìn)行巧妙地等價(jià)轉(zhuǎn)化與化歸，從而將所求參數(shù)a的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為求對(duì)號(hào)函數(shù)h（t）在區(qū)間［1，5］上函數(shù)的最大、最小值的問題，解決問題簡捷、明快，避免了分類討論步驟，同時(shí)縮短煩瑣冗長的運(yùn)算過程.在這里分式的一個(gè)簡單變形為問題的解答開辟了捷徑.