提高線性代數課堂教學效果的幾點體會

陳 紅，黃 勁

（1.2.梧州學院 數理系，廣西 梧州 543002）

提高線性代數課堂教學效果的幾點體會

陳 紅1，黃 勁2

（1.2.梧州學院 數理系，廣西 梧州 543002）

線性代數是理工科重要的基礎課程，結合教學實踐以及一些思考，從線性代數的課程主線、概念教學、技能培養、思想方法等方面，就如何提高線性代數課程教學效果的談幾點體會。

線性代數；課程主線；概念；技能；思想方法

線性代數是理工科和部分文科專業重要的基礎課程，它是自然科學和社會科學的基本工具，它的理論和方法無論是對學生知識結構的完善還是對學生綜合素質的提高以及創新能力的培養都有著十分重要的作用。線性代數教學效果直接影響著學生在實踐中應用數學的能力。

線性代數課程的特點是學時少、概念多、抽象度高、思維方式獨特。由于該課程理論性強,技能性強，教師在教學過程中既要保證數學原理的傳授，又要使學生及時掌握主要的解題方法，兩者往往難以平衡。特別是某些章節由于理論多、晦澀難懂，學生感到學線性代數像是“讀天書”，甚至有些老師在有關這些內容講授時采取只介紹結論,不去講授其原理的短平快教學模式，從而影響了教學效果，也達不到教學的目的,以至于學生陷入迷茫之中。本文以同濟大學編寫的《線性代數》[1]教材為研究對象，結合教學實踐以及一些思考，就如何提高線性代數的教學效果談幾點體會。

一、以線性方程組解的理論為課程主線，以線性空間、線性變換為方向組織教學

“線性代數”是一門“空間為體，矩陣為用”（即用矩陣理論研究向量空間及其線性變換）的課程[2]。如果從主攻課題和研究方法的角度來分析,線性代數是以線性方程組解的理論和方法為起點,研究線性空間及其上線性變換的不變量理論的課程，其主要工具是矩陣理論。現行主流的線性代數課程大抵包括以下一些內容：行列式、矩陣、向量、線性方程組、特征值特征向量、二次型、線性空間和線性變換。線性代數每一章研究的對象、概念不能在前一章的基礎上建立起來，從這個角度來說各章之間的關聯性不強，學生每一章都要重新學習新概念的定義、性質、相關計算及一系列結論。造成學生感覺剛剛初步熟習一個內容，接著又出現了新的研究對象，一個難題接一個難題，沒有一個課程主線，這是線性代數難學的原因之一。根據線性代數這一特點，確定以線性方程組解的理論為課程主線，以線性空間、線性變換為方向組織教學。該方法避免了學生學習的盲目性,帶著問題看每一個新的研究對象，知道為什么要引進這個概念及研究這個概念的數學背景，這樣新的概念就變得似曾相識了，提高了教學效果。

1．以線性方程組解的理論為課程主線組織教學客觀世界的數量關系中線性問題（即均勻化的問題）可以列出線性方程組求解。計算機的迅速發展使得成千上萬個未知量的線性方程組也有可能求解，這需要給出統一的、機械的求解線性方程組的算法。含n個未知量的線性方程組稱為n元線性方程組，它的一般形式為：

問題：線性方程組是否有解？有解時，有多少個解？如何求線性方程組的解？線性方程組的解不止一個時，這些解之間有什么關系？

特殊情形:當方程個數與未知量個數相等時，即m=n時，從二元、三元線性方程組入手，得出它們的公式解，引出二階、三階行列式。對于n個方程的n元線性方程組有沒有類似的結論呢？引出n階行列式的概念，最后得到克萊姆法則：如果系數行列式，則方程組有唯一解。

克萊姆 (Cramer)法則直接從線性方程組的系數和常數項求出方程組的解。

問題：（1）當D=0時，克萊姆法則失效，無法判定無解和有無窮多解的情形，如何求解？

（2） 當方程個數與未知量個數不相等時，即m≠n時，克萊姆法則失效，因此需要進一步研究一般的線性方程組如何直接從它的系數和常數項判斷它有沒有解，有多少解，有解時如何求出它的解？

解決方法：分析解線性方程組的Gauss消元法，我們看到求解過程中只是對線性方程組的系數和常數項進行了運算，于是利用矩陣、矩陣的初等行變換來解線性方程組，從而引出了矩陣的內容。下面通過例子說明如何從“矩陣”過渡到“向量”。

問題：線性方程組的有無窮多解時，解與解之間有什么關系？其解集的結構如何？

解決方法：引入向量，定義向量的線性運算。討論向量之間的關系，即向量組、向量的線性表示、向量組的線性相關性、最大無關組、向量空間的概念。

齊次線性方程組的解集 S｛x｜Ax＝0｝是一個向量空間（稱為齊次線性方程組的解空間，它是Rn的子空間），解向量組的一個最大無關組稱為方程組的基礎解系，它即是解空間的基。由此得到齊次線性方程組的解集的結構，從而得到非齊次線性方程組的解集的結構，到此，線性方程組的問題得到徹底解決。

接下來特征值、特征向量是解線性方程組的應用，二次型是行列式、矩陣、解線性方程組的綜合應用。

以如何解線性方程組為主攻課題組織教學，重現了線性方程組理論問題的研究過程和創新過程，隨著問題的討論深入，不斷地引進新的概念及相關理論，使學生在發現問題、解決問題的過程中搭建起線性代數的知識結構，學習并逐漸掌握行列式、矩陣、向量空間的理論和方法。實踐表明這種以問題為中心組織教學的方法，能夠引起學生的注意，激發學生學習的主動性，有利于在教學過程中促進學生的泛參與，取得了較好的教學效果。

2．以線性空間、線性變換為方向組織教學

研究線性方程組的解法、解的情況的判別和解集的結構時，貫穿了研究n維向量空間Rn及其子空間這條主線。為使向量及向量空間的概念更具一般性，于是引入了線性空間的概念。

問題：如何在n維向量空間Rn的基礎上研究Rn維線性空間Vn？

解決方法：引入線性空間的維數、基、坐標及同構的概念。

設 α1,α2,…,αn是 n 維線性空間 Vn的一組基，在這組基下，Vn中每一個向量都有唯一的坐標 (x1,x2,…xn)T，因此Vn與Rn之間就建立了一一對應關系。設 α=x1α1+x2α2+…xnαn+，β＝y1α1+y2α2+…ynαn，即α，β的坐標分別是 (x1,x2,…xn)T， (y1,y2,…yn)T，那么

于是 α+β，kα 的坐標分別是 （x1+y1，x2+y2，…，xn+yn），（kx1，kx2，…，kxn）T這表明向量用坐標表示后，Vn中的抽象的線性運算可轉化為Rn中的線性運算，Vn的討論就可歸結為Rn的討論。給出線性空間同構的概念，得到任何一個n維線性空間Vn都與Rn同構，即維數相等的線性空間都是同構的。

在線性空間的抽象討論中，不考慮線性空間的元素是什么，也不考慮其中的運算是怎樣定義的，而只涉及線性空間在所定義的運算下的代數性質，從這個觀點來看，同構的線性空間可以不加區別，因此，維數是有限維線性空間的唯一本質特征，是有限維線性空間的不變量。特別地，每一個n維線性空間Vn都與Rn同構，而同構的線性空間有相同的線性性質，由此可知我們前面對Rn的研究中，凡是只涉及線性運算的性質及有關結論（如線性組合、線性相關、線性無關、最大無關組、向量空間的基和維數、向量的坐標、基變換、坐標變換、過渡矩陣等）在一般的n維線性空間Vn都是成立的。因此，n維向量空間Rn是n維線性空間Vn的一個具體模型，因此，有限維線性空間的結構可以認為是完全清楚了。

矩陣的研究為線性變換的研究打下了基礎。

問題：如何用矩陣研究線性變換？

解決方法：引入線性變換的矩陣的概念，線性變換與n階方陣之間建立一一對應關系。

在n維線性空間Vn中取定一組基后，線性變換可用矩陣表示，線性變換與n階方陣之間就建立了一一對應關系，且這個對應保持運算，即線性變換的和、乘積、數量乘積、分別對應于矩陣的和、乘積，數量乘積，且可逆線性變換對應于可逆矩陣，逆變換對應于逆矩陣。線性變換的核心問題是尋找一組合適的基，在這組基下線性變換的矩陣具有最簡單的形式，其本質上就是研究相似矩陣的問題。線性變換的值域的維數就是其對應的矩陣的秩，以線性變換對應的矩陣為系數矩陣的n元齊次線性方程組的解空間的維數公式本質上線性變換的核與值域的維數公式。

數學問題解決是一種研究性教學模式。學習者首先面對問題，教師引導學生以問題為中心或者誘因，選用解決問題的策略，構建數學知識，提高數學能力。學習者在學習過程中能夠獲得更為豐富的建立在更科學的基礎上的經驗，從而產生更多的體驗,有利于學生感悟如何提出問題，知道何時對問題進行分析,如何尋求幫助,并且收集足夠的信息來解決問題；這種學習方式有利于學生養成一種主動探究和解決問題的習慣[3]。事實上，科學研究往往是先確定要做什么？然后考慮如何做？通過引入重要概念搭橋，最終對問題加以解決。

以線性方程組解的理論為課程主線，以線性空間、線性變換為方向組織線性代數的教學，能使學生在獲得知識、技能的同時體會到數學的思想方法，培養了學生的問題意識、創新意識，增強了學生探索問題、解決問題的能力。

二、注重關鍵概念的教學

關鍵概念指的是通過對教學內容的理解提煉出某章或某節的能貫穿教學內容的概念。線性代數知識點多、抽象性強、概念關系錯綜復雜，只有在正確理解概念的基礎上才能更好地理解線性代數的思想方法，從而掌握線性代數的重要定理和結論。因此，教學中更要重視基本概念的教學，特別是加強關鍵概念的教學。

例如：向量組的線性相關性這一章主要圍繞五個關鍵概念展開：向量組的線性相關性（線性相關、線性無關）、向量組的最大無關組、向量組的秩、矩陣的秩、齊次線性方程組的基礎解系。這五個關鍵概念環環相扣，把這一章的教學內容串聯起來。其中向量組的最大無關組是連接其他四個概念紐帶，它的定義如下：

定義 設有向量組A，如果在A中能選出r個向量 α1,α2,…,αr，滿足

（i）向量組A0：α1,α2,…,αr線性無關；

（ii）向量組A中任意r+1個向量（如果A中有r+1個向量的話）都線性相關。

則稱向量組A0是向量組A的一個最大線性無關向量組（簡稱最大無關組）。

由此看到，最大無關組是向量組線性相關性的核心。另一方面，最大無關組給出了向量組的秩和矩陣的秩含義，向量組的秩等于向量組的最大無關組所含的向量個數，矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩。齊次線性方程組的基礎解系即是它的解向量組（或解空間）的最大無關組。

教學中，對每個關鍵概念都要使學生深刻理解概念的內涵，理清它與其他概念的區別與聯系，及時建立概念體系。如向量組的線性相關、線性無關定義如下：

定義 給定向量組 A：α1,α2,…,αs，如果存在不全為零的數 k1,k2,…,ks使 k1α1+k2α2+…+ksαs=0，則稱向量組A是線性相關的，否則稱向量組A線性無關。

這是形式化語言給出的定義，學生感覺抽象難學。首先可以通過簡單的例子理解概念的內涵。

向量組 α1,α2,…,αs是線性無關如果從 k1α1+k2α2+…+ksαs=0 可以推出系數 k1=k2=…=ks=0。

然后把線性相關、線性無關的概念與其他概論和知識點聯系起來，多角度多方面思考問題，使得對這個概念的理解逐步完善和充實，并獲得其它判斷和求解方法。

（1） 從齊次線性方程組的角度α1,α2,…,αs線性相關齊次線性方程組 x1α1+x2α2+…+ksαs=0 有非零解。α1,α2,…,αs線性相關齊次線性方程組 x1α1+x2α2+…+ksαs=0 只有零解。

（2） 從線性組合的角度α1,α2,…,αs線性相關存在不全為零的組合系數使得線性組合等于零向量。α1,α2,…,αs線性無關只有組合系數全為零的線性組合才能等于零向量。

（3）線性表示的角度

向量組 α1,α2,…,αs線性相關其中至少有一個向量可以由其余向量線性表示。

向量組 α1,α2,…,αs線性無關其中每一個向量都不能由其余向量線性表示。

（4）從行列式的角度

n 個 n 維列 （行） 向量 α1,α2,…,αn線性相關以 α1,α2,…,αn為列 （行） 向量組的矩陣的行列式等于零。

n 個 n 維列 （行） 向量 α1,α2,…,αn線性無關以 α1,α2,…,αn為列 （行） 向量組的矩陣的行列式不等于零。

（5）從矩陣的秩的角度

α1,α2,…,αs線性相關以 α1,α2,…,αs為列向量組構成的矩陣的秩小于S

α1,α2,…,αs線性無關以 α1,α2,…,αs為列向量組構成的矩陣的秩等于S

如果一個向量組的一個部分組線性相關，那么整個向量組也線性相關。

如果向量組線性無關，那么它的任何一個部分組也線性無關。

采用這樣的教學方法，加深了學生對概念的理解，培養了學生全面思考、多方位、多角度看待事物的能力，同時把盡可能多的知識聯系起來，便于學生記憶和理解更多的知識。

線性方程組一章中，五個關鍵概念之間的關系是：向量組的線性相關性→向量組的最大無關組→向量組的秩→矩陣的秩→線性方程組的基礎解系。其中最大關組是連接其他關鍵概念的紐帶。教學中結合例題，培養學生綜合應用概念解決問題的能力。例如，有關矩陣的秩的證明題，由于其太抽象學生往往無從下手，但若利用矩陣的秩與向量組的最大無關組這兩個關鍵概念的關系來證明則可使思路清晰。

例 證明 R（A+B）≤R（A）+R（B）

證明 設A、B的列向量組分別為：α1，α2，…，αn；β1，β2，…，βn，則 A+B 的列向量組為 α1+ β1，α2+β2，…，αn+βn，設 αi1，αi2，…，αir是向量組 α1，α2，…，αn的一個最大無關組；設 βj1，βj2，…，βjt是向量組 β1，β2，…，βn的一個最大無關組。則 α1+ β1，α2+β2，…，αn+βn可由向量組 αi1，αi2，…，αir，βj1，βj2，…，βjt線性表出。因此

于是 R（A+B）≤R（A）+R（B）。

例題的證明過程中運用了最大無關組的性質、矩陣的秩與構成它的列向量組的秩的關系，以及向量組的秩與其最大無關組所含向量個數之間的關系，使問題通過最大無關組這個紐帶得以證明。

三、注重培養學生的“線性代數”技能

數學技能是學生在數學學習過程中通過訓練而形成的一種心智活動方式[4]。

教學過程中，要重視計算行列式、求矩陣的秩、求逆矩陣、解方程組、討論向量組的線性相關性、求方陣的特征值和特征向量等線性代數基本技能的訓練，及時總結解題方法和解題步驟。數學技能的形成必須以良好的知識結構為基礎，以對知識的理解為前提。而學生在數學技能學習和熟練的過程中又可以加深對知識的理解，促進知識結構的進一步完善。

例如學生要熟練掌握求矩陣的特征值和特征向量的技能。首先，必須理解矩陣的特征值、特征向量、特征多項式和特征方程的概念，確定求矩陣的特征值和特征向量的解題步驟：（1） 寫出｜λEA｜特征多項式 ； （2） 求出｜λE-A｜＝0 的特征方程的全部根，即得矩陣A的全部特征值λ1，λ2，…，λn；（3） 將每個特征值 λ＝λi代入齊次線性方程組（λE-A）x＝0，求其基礎解系，基礎解系的線性組合（零向量除外） 就是A對應于特征值λi的全部特征向量。其次，根據教師對例題的講解示范，模仿著寫出求一個矩陣的特征值和特征向量的過程；然后根據模仿和自己的理解，重復例題的過程；并在這個過程中逐漸體會和加深理解特征多項式、特征方程、特征值、特征向量等概念和具體的解題步驟；最后通過一定量的課后練習達到熟練掌握的程度。

四、注重突出“線性代數”思想方法

數學思想方法包含在數學知識之中，是數學知識發生過程的提煉、抽象和概括，是對數學規律的認識。所以應該把數學思想方法的培養與數學知識的教學融為一體。教學中不僅要傳授線性代數的知識和技能，還要幫助學生逐漸掌握具有“線性代數”特點的思想方法，如矩陣法、變換法、向量法等思想方法，了解影響代數學發展的全局性方法：公理化方法、結構化方法和等價分類方法。

例如：矩陣是研究向量空間及其線性變換的主要工具，在教學中一方面要使學生學會把各種問題轉化成矩陣問題，另一方面要教會學生熟練掌握矩陣理論和方法，特別是矩陣的初等變換和矩陣的乘法。

再例如：數、多項式、矩陣、向量等具體的數學對象構成的集合，關于各自加法和數乘都滿足的八條運算律，都構成代數體系。把這種具有共同本質的代數體系集中起來，抽掉它們的元素所表示的具體含義，抽象出統一的代數結構，尋找它們的共同規律。于是用公理化方法，把八條運算律作為公理給出線性空間的定義。對于剛入大學的學生來說，線性空間是他們遇到的第一個用公理來定義的抽象概念，同時也是他們接觸到的第一個代數結構。采用結構化方法，依據線性空間的公理化定義來研究線性空間中元素之間的關系、線性空間和它的子空間的關系、線性空間的生成方法、線性空間的分類等問題。經過研究我們發現，同一數域F上的線性空間可以有不同的代數結構，這里的本質是線性空間的維數。對于同一數域F上的線性空間而言，在同構意義下維數相同的線性空間有相同的代數結構，“同構”是線性空間之間的一個等價關系，用這個關系可以按“維數相等”把線性空間進行分類。因此，在同構的意義下數域F上的n維線性空間只有一個。

這種把具有共同本質的代數體系集中起來，抽象出它們共同的代數結構，統一用代數結構的思想、方法、語言去研究和描述客觀世界的方法是代數學中常用的方法。另一方面，研究線性空間中筆者用了公理化方法、結構化方法和等價分類方法，這種宏觀性的數學方法貫穿于代數學各分支的始終，在教學中要明確告訴學生。

[1]同濟大學數學教研室．工科數學：線性代數[M]．5版．北京：高等教育出版社，2007．

[2]李尚志．線性代數教學改革漫談[J].教育與現代化，2004(1):30-33．

[3]褚小婧,程向陽.大學數學研究性教學的實質及探索[J].大學數學,2011(1):16-20

[4]馬忠林.數學學習論[M].南寧:廣西教育出版社,1997:16.

On Im proving Teaching Effectiveness of Linear Algebra Course

Chen Hong1，Huang Jin2
(1.2.Department of Physics and M athematics,W uzhou University,W uzhou 543002,China)

Linear Algebra course is one of the basic courses for science and engineeringmajors.Based on the author's own teaching experience and reflection,the paper discusses how to improve the teaching effectiveness of the linear algebra course in the aspects of themain thread of the course,concept teaching,skills development,ways of thinking,etc.

linear algebra;main thread of the course;concept;skills;ways of thinking

G642.4

A

1673-8535（2012）02-0087-06

陳紅（1962-），女，梧州學院副教授，碩士，研究方向：組合數學。

黃勁（1964-），男，梧州學院數理系講師，研究方向：概率論與數理統計。

（責任編輯：高 堅）

2012-02-12

新世紀廣西高等教育教學改革工程項目(2011JGB128)；梧州學院教育教學改革工程資助項目(WyjgB002，Wyjg2010A008)