在“數學分析”中滲透數學思想的教學意義
——化歸與轉化思想

蘇 芳，覃學文

(1.2.梧州學院 數理系，廣西 梧州 543002)

在“數學分析”中滲透數學思想的教學意義
——化歸與轉化思想

蘇 芳1，覃學文2

(1.2.梧州學院 數理系，廣西 梧州 543002)

基于數學思想的教學對素質教育的重要意義，結合在數學分析教學中的經驗，提出在數學分析的教學中滲透化歸思想的意義和具體的操作方法。

數學思想；化歸思想；轉化思想

從數學發展史來講，微積分的產生標志著從初等數學到高等數學的飛躍，經過歷代數學家們的努力，微積分發展成為今天具有廣泛應用意義的數學基礎學科——數學分析。數學分析理論的每一次發展，都是由數學思想的突破而引起的。可以說數學思想在數學分析的發展與完善中起著重要的作用。

一、關于數學思想

數學思想是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果。人類在對豐富的、具體的數學對象進行研究的過程中，形成了許多思維方式和數學方法，這些思維方式和數學方法經過長期的積累而產生了質的飛躍，上升為數學思想。因此數學思想比數學知識更深刻、更本質，具有更高的概括水平。基本的數學思想包括：符號化思想、公理化與結構思想、函數與方程思想、數形結合思想、化歸思想、轉化思想、整體思想、分類思想、類比思想、歸納思想等等。數學思想在某些具體數學問題中的體現就是數學方法，如換元法、待定系數法，以及方程中的消元法降階法等等，但任何一種數學方法都反映了一定的數學思想，如換元法實際上就是轉化思想的具體表現。

二、化歸與轉化思想

化歸與轉化思想，就是把未知的數學問題轉化為在已學知識內可能解決的問題的一種思想，其特點就是實現化復雜為簡單的轉化、從不熟悉向熟悉的轉化。

在經過多年的“數學分析”教學實踐中，筆者總結的經驗是：化歸與轉化思想是形成良好的數學認知結構的前提。

三、化歸思想在數學分析教材中的作用

化歸思想在數學分析中應用十分廣泛，它通過數學分析的各種內容以及不同的知識點表現出來。化歸思想在數學分析中起著如下兩種作用：

（一）化歸與轉化思想對數學分析理論起著杠桿放大作用[1]

未學的、復雜的數學問題，通過轉化，歸結為已學的或易解決的問題，這是化歸思想的功能。從另一角度來看，可以說化歸思想使舊的知識向新的知識邁進，使低一級知識向高一級知識縱深發展。例如連續函數、導數、定積分、級數的收斂等定義都可以歸結為極限的概念，從某種意義上來看，極限的意義在化歸思想的杠桿放大作用下，向導數、連續、定積分、級數等領域發展，得到了更多新的理論。同樣的曲線積分、曲面積分、二重積分等計算方法都可轉化為定積分來計算。

（二）化歸與轉化思想在不同的知識點之間起著橋梁的溝通作用

對數學分析中的不同知識點，化歸思想可使知識交融，從一個領域向另一個領域轉化。例如，對一些常用的函數，如指數函數、三角函數、對數函數以及物理學中常用的某些超越函數，當求它們的近似值時，要把它們近似地表達成多項式的結構，通過計算多項式的值，就可以得到這些超越函數的近似值。而用多項式近似地表達一個給定函數的問題，就可以化歸為泰勒級數。此外，最大最小值問題，可化歸為函數的駐點問題；而函數的作圖，也要求學生具有一定的化歸思想。因為要研究函數圖像或者要描函數圖像，一定要掌握圖像的主要特征，而微分學可以幫助學生分析函數圖像的主要特征，其中最主要的特征有：①圖像的極值點，這可轉化為求f′(x)=0的點或導數不存在的點；②圖像的單調性，可轉化為一階導數大于0或小于0的點；③曲線的凹凸性與拐點，可化為f″(x)＞0，f″(x)＜0或f″(x)＝0的問題。從上面的例子可看到化歸思想廣泛地蘊涵在數學分析教材之中。

四、化歸思想對指導學習數學分析的意義

（一）化歸思想有效地幫助對數學分析理論的理解與知識遷移

認知心理學表明，學習是學習者自己建構的。在認知過程中，學生將概念、公式、定理等知識經“同化”或“順應”作用，納入自己已有的認知結構中。這個過程，離不開化歸與轉化思想的參與。數學的學習是一個認知結構的形成過程，即新的學習內容與學生原有的數學認知結構相互作用，形成新的認知結構的過程。新舊知識互相作用的基本形式是同化與順應。所謂同化，就是利用原有的數學認知結構對新知識進行加工處理，經加工改造的新知識被納入原認知結構中；所謂順應，是在原有的認知結構不能使知識進行同化時，調整原有的認知結構使之適應新的認知結構的學習過程叫順應。

在數學分析的學習中，化歸思想是同化或順應過程的催化劑。以微分中值定理的學習為例。羅爾定理為：“如果函數f(x)滿足下列條件①在閉區間[a,b]連續；②在開區間（a,b）內可導；③f(a)=f(b)，則在區間（a,b）內至少存在一點 ξ，使得 f(ξ)＝0”[2]108，其幾何意義是：滿足定理三個條件的曲線f(x)在區間（a,b）內至少存在一點 (ξ，f（ξ）)，使曲線過點ξ的切線平等于x軸。學生在學習了羅爾定理以后，再學習拉格朗日中值定理“如果函數滿足下列條件①在閉區間[a,b]連續；②在開區間（a，b）內可導，則在區間（a，b）內至少存在一點ξ，使得[3]109。其幾何意義是：滿足定理條件的曲線f(x)在區間（a,b）內至少存在一點ξ，使曲線過點（ξ，f(ξ)）的切線平行于兩端點的弦AB。顯然，拉格朗日中值定理不能納入羅爾定理，即不能同化，經分析：兩個定理從形式和結構來看有相同之處，其差異是：羅爾定理比拉格朗日中值定理多一個條件f(a)=f(b)，同時從幾何條件來看，羅爾定理是過點（ξ，f(ξ)）的切線平等于x軸，而拉格朗日中值定理是過點（ξ，f(ξ)）的切線平行于兩端點的弦AB。在轉化思想指導下，以消除差異為目標，在原認識結構上對羅爾定理的條件及結論的表征進行改造而從幾何意義來看，過點（ξ，f(ξ)）的切線平等于x軸就是平行于兩端點的弦，從而認識到羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情況，這基本上表現為順應過程。當再學習柯西中值定理時，研究分析發現柯西中值定理與拉格朗日中值定理形式相似，但已知條件的表征上有差異。為了消除差異，在轉化思想的指導下，把拉格朗日中值定理中，曲線AB的方程轉化為參數方程y=f(x)表示，則直線AB的斜率為，曲線過點C的切線為，在t=ξ的值，這種新的表征與柯西定理中的表述一致，所以它是柯西定理的特殊情況。

在學習過程中，無論是對學習者頭腦中原有的認知結構進行調整，還是對新知識進行加工改造，都是在轉化思想指導下進行的，可見轉化思想有利于學生的認知結構的組織化水平的提高。

（二）化歸思想為學生提供思維策略

作為一種數學思想方法，化歸思想在解題中可為學生提供化難為易、化繁為簡的思維策略，使學生學得更深刻更靈活。一般步驟是根據題目提供的信息，分析轉化目標，然后利用相應的數學知識和技能去探索轉化方向，從而到達化歸目標。

例如，牛頓—萊布尼茲公式、格林公式、奧斯特洛格拉德斯基公式，是同一類關系在不同維的空間的表現形式。牛頓—萊布尼茲公式把一個區間上的定積分同這個區間端點的原函數值聯系起來，格林公式把一個平面區域上的二重積分和沿該區域邊界的第二型曲線積分聯系起來，奧氏公式把一個空間區域上的三重積分和沿該區域邊界的第二型曲面積分聯系起來，因此上述公式是解決某些定積分計算問題時實施轉化的有效途徑。例：計算，S是四面體O－ABC所成的曲面（如圖4），且設積分是沿曲面的外側而取的。

但利用奧氏公式，改變積分路線，使這難求的第二型曲面積分轉化為一個空間區域上的三重積分，從而化難為易，使計算簡捷得多。

五、小結

經驗證明，學生一旦掌握了數學思想，便是一個具有“數學頭腦”的人，即使在以后的學習和生活中忘記了概念、定理、公式等具體的數學知識，但他們運用數學思想方法思考問題的能力永遠存在，他們在分析問題、解決問題的各個環節中都打上鮮明的“數學烙印”，達到素質人才的最高境界。

[1]張偉平.從基本不等式中談中學生對等價思想的理解[J].數學教育學報，2009(2).

[2]劉書田.微積分[M].北京：高等教育出版社,2004.

G642.4

A

1673-8535（2012）02-0101-04

蘇芳（1977-），女，廣西藤縣人，梧州學院數理系講師，研究生，研究方向：函數論和微分方程。

覃學文（1975-），女，廣西橫縣人，梧州學院數理系講師，研究生，研究方向：函數論和微分方程。

（責任編輯：高 堅）

2012-02-24

新世紀教改工程2010年項目（2010JGA078）