一種粒子增強體復合材料的線粘彈性模型①

龔建良，劉佩進，李 強

(西北工業大學燃燒、熱結構、與內流場重點實驗室，西安 710072)

0 引言

粒子增強體復合材料主要是由高聚物為基體的粘結劑和固體顆粒的增強體組成［1］。高聚物基體是連續相，具有粘彈性特性，其力學性能強烈依賴于溫度、應變率［2］。另外，粒子增強體復合材料分布著大量的固體顆粒，起到增強作用，固體顆粒的粘性很小，但其楊氏模量比基體要大得多［3］。在外載荷的作用下，由于組分有效性能的差異，導致粒子與基體處應力集中，較易產生界面脫濕［4］。界面脫濕是一個重要的力學行為，但在實驗上，一般無法單獨分析一種變形特性(如脫濕)對宏觀本構關系的影響。為了單獨定量分析界面脫濕對粒子增強體復合材料力學性能的影響，對其展開數值模擬是必要的。

目前，國內外針對粒子增強體復合材料的細觀力學已存在研究。國內，趙穎華于1999年，針對顆粒增強復合材料，應用細觀力學的均質化方法，研究了界面損傷對顆粒增強復合材料彈性性能的影響［5］;袁嵩于2006年，針對復合固體推進劑，使用軸對稱單胞模型，利用細觀力學有限元法，計算了顆粒與基體粘接完好和存在脫粘兩種情況下顆粒與基體內的應力分布，分析了復合固體推進劑的細觀失效機理［6］;陳建康于2003年，針對粒子增強體粘彈性復合材料，使用Eshelby等效理論與Mori-Tanaka法，建立了宏觀本構關系，得出了宏觀應變率、粒子分散度、基體的松弛時間與界面粘接強度對宏觀本構關系都具有重大影響［7］。國外，伊利諾依大學的Tan于2005年，針對PBX 9501高能炸藥，使用數字圖像相關(DIC)技術，獲取了基體與粒子的界面粘性定律，確定了模型參數［8］，并在RVE上，使用平均化與Mori-Tanaka法，確定了高三軸應力下的線彈性宏觀本構關系，利用有限元技術數值模擬了宏觀本構關系，顯示了增強體粒子的大小對PBX 9501高能炸藥的界面脫濕有重大影響，并得出了臨界脫濕粒徑［3］。Tan于2008年，在線彈性本構關系的基礎上，使用Laplace變換原理，將線彈性宏觀本構關系發展到粘彈性的宏觀本構關系，但沒有考慮脫濕發展的整個過程［9］。

本文依據復合材料細觀力學理論與Laplace變換原理，利用Tan等從相關實驗中得出粒子與基體的界面粘性模型［8］，推出了一種改進的粒子增強體復合材料的三維線粘彈性本構模型，并針對高能炸藥PBX 9501展開了有限元數值模擬，探討了不同溫度、常應變率、顆粒粒徑和粒子體積分數對粒子增強體復合材料力學性能的影響。

1 粒子與基體的界面粘性模型

Tan等利用數字圖像相關算法，從高能炸藥PBX 9501的緊湊拉伸實驗中，確定了高能炸藥PBX 9501粒子與基體的界面粘性模型，如式(1)［8］:

粘性模型由3個階段組成，分別是彈性上升段、損傷發展段、完全脫濕段，且每段線性分布。它完全決定于參數:粘性強度σmax、線性模量kσ和軟化模量

2 粒子增強體復合材料的三維線粘彈性本構關系

為了推出粒子增強體復合材料的三維線粘彈性本構關系。首先，在粒子增強體復合材料中，給定一個代表性體積單元RVE(Representative Volume Element)，RVE的體積由基體體積Ωm和粒子體積Ωp組成，記粒子體積分數f=Ωp/Ω。σm和σp分別表示基體和粒子的平均應力，是二階張量。復合材料的平均應力表示如下［3］:

同理，εm和εp分別表示基體和粒子的平均應變。復合材料的平均應變表示如下:

其中，fεint是考慮到粒子與基體的界面形變。εint是按照粒子與基體界面Sint的兩邊位移之差［u］=um－up來確定，是一個二階對稱張量，表示如下［3］:

式中 um和up分別表示界面處基體側和粒子側的位移;n表示單位法向量，方向指向基體;Sint表示粒子與基體的界面面積。

假定固體顆粒是線彈性與基體是粘彈性的，依據粘彈性理論，分別有本構關系［9］:

其中

現將基體剪切模量Gm(t)用Prony級數表示［10］，即移位因子使用WLF式確定［11］，其中參數 T0=19 ℃，C1=6.5，C2=120 ℃［12］。

為了使用彈性與粘彈性的相應原理，需對式(5)和式(6)進行Laplace變換:

為了在變換后的空間建立本構關系，還需對式(2)與式(3)進行Laplace變換:

最后，將式(7)與式(8)代入式(10)，并使用式(9)，可得到變換空間下粒子增強體復合材料的三維本構關系，用應力表達［9］:

在三軸應力載荷下，使用細觀Mori-Tanaka方法，經過理論推導及近似處理，提出了改進的粒子增強體復合材料線粘彈性模型，表示如下:

3 數值算例與分析

為了驗證本文模型與程序的可靠性，針對高能炸藥PBX 9501力學性能，開展了大變形有限元的數值模擬。利用Tan等從高能炸藥PBX 9501的緊湊拉伸實驗中得到的數據，有 σmax=1.7 MPa，kσ=1.55 GPa/線粘彈性基體的剪切模量用Prony級數表示，系數參考Mas等給出的表1，數據單位 MPa，且 G∞=0［10］;線彈性固體顆粒的體積模量14.23 GPa 和泊松比 0.31。

表1 對于高能炸藥PBX 9501的Prony級數的系數Table 1 coordination of Prony series with the high explosive PBX 9501

3.1 溫度與應變率分別對高能炸藥PBX 9501力學性能的影響

為了分析溫度與應變率分別對高能炸藥PBX 9501力學性能的影響，暫不考慮粒徑與粒子體積分數的影響，取粒徑a=125 μm，f=60%。首先，在不同溫度T=0、25、50℃條件下，施加載荷應變率=2/s，分別得到高能炸藥PBX 9501的應力-應變曲線，見圖1。可知，隨溫度的降低，應力-應變曲線往上偏，即應力增大，這是因為隨溫度的降低而模量升高。其次，在T=25℃的條件下，施加不同常應變率=0.2、2、20 s－1，分別得到高能炸藥PBX 9501的應力-應變曲線，見圖2。可知，隨應變率的降低，應力-應變曲線往上偏，曲線的變化與圖1類似，這種現象可利用時間-溫度等效原理來解釋。當應變率=20 s－1時，要產生 0.5 的應變需0.025 s;當應變率=2 s－1時，要產生 0.5 的應變需0.25 s;當應變率=20 s－1時，要產生 0.5 的應變需2.5 s。所以，達到相同應變的時間縮短，相當于降低溫度，粘彈性基體的剪切模量更大，應力應更高。

圖1 不同溫度下的應力-應變曲線Fig.1 Stress-strain relation with different temperatures

圖2 不同常應變率下的應力-應變曲線Fig.2 Stress-strain relation with different constant strain rate

3.2 粒子體積分數與粒徑分別對高能炸藥PBX 9501力學性能的影響

為了分析固體顆粒粒徑與粒子體積分數分別對高能炸藥PBX 9501力學性能的影響，將其放置于T=25℃，以常應變率=2 s－1施加載荷。首先，暫不考慮粒徑的影響，取粒徑a=125 μm，分別得出不同粒子體積分數f=20%、60%、92.7%條件下的應力-應變曲線，見圖3。

由圖3可知，隨粒子體積分數的增大，曲線往上偏，這是因為基體體積分數的減小，粘彈性基體的影響減弱。同時，粒子體積分數較大的復合材料，更易發生界面脫濕［3］。其次，在粒子體積分數f=60%的條件下，分別得出不同粒徑α=4 μm和α=125 μm下的應力-應變曲線，見圖4。可知，隨粒徑增大，高能炸藥PBX 9501的強度降低，因為粒徑大的固體顆粒比粒徑小的更易發生脫濕。

圖3 不同體積分數下的應力-應變曲線Fig.3 Stess-strain relation with different particle volume fraction

圖4 不同粒徑下的應力-應變曲線Fig.4 Stress-strain relation with different particle size

4 結論

(1)在高應變率或低溫條件下，粒子增強體復合材料具有更高的應力強度。

(2)粒子體積分數越高，粒子增強體復合材料越易發生界面脫濕。

(3)在粒子增強體復合材料中，粒徑大的固體顆粒比粒徑小的固體顆粒更易發生脫濕。

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