連續函數可測性的一個新證明

余保民

(渭南師范學院數學與信息科學學院，陜西渭南714000)

連續函數可測性的一個新證明

余保民

(渭南師范學院數學與信息科學學院，陜西渭南714000)

給出了連續函數可測性的一個新的證明方法.首先證明了定義在閉集上連續函數的一個性質.在此基礎上，利用可測集和Fσ型集之間的關系，證明了定義在可測集上的連續函數是可測函數.

連續函數;可測函數;可測集;閉集;Fσ型集

實變函數的研究對象是定義在可測集上的可測函數類，這類抽象的函數不但包含了數學分析的主要研究對象——連續函數，而且還包含了存在大量間斷點的函數.其定義和充要條件見文獻［1］.

(1)對任何有限實數a，E［f≥a］都是可測集;

(2)對任何有限實數a，E［f＜a］都是可測集;

(3)對任何有限實數a，E［f≤a］都是可測集;

(4)對任何有限實數a，b(a＜b)，E［a≤f＜b］都是可測集.

對于上述定義的可測函數，由于其本身及其定義域都很抽象，而連續函數又是較為簡單的一類函數，因此，一般需要用連續函數去認識和給出可測函數的刻畫.實際上，可測函數和連續函數有著如下兩方面的密切聯系(見［1－3］):

定理2 (連續函數的可測性)

定理3 (魯金定理，可測函數與連續函數的關系)

定理2和定理3說明:一方面，定義在可測集上的連續函數是可測函數，另一方面，幾乎處處有限的可測函數“基本上”是連續函數.這種正反兩方面的關系可以使我們對可測函數的了解更加深入，它也是研究可測函數的有效手段.

在對定義在可測集E上的連續函數f可測性的證明中，現行教材普遍的證明方法是利用連續函數的ε－δ定義及鄰域的性質進行證明(見文［1－3］)，證明過程如下.

定理2的證明

設x∈E［f＞a］，則由連續性假設，存在x的某鄰域U(x)，使

反之，顯然有G E［f＞a］，因此

從而E［f＞a］=G∩E.但G是開集(因為它是一族開集之并)，而E是可測集，故其交G∩E仍為可測集.

在上面的證明方法中，由于要把一個集合拆成一些點的鄰域的并集，不易理解和接受.另一種更為簡潔的證明方法是利用連續函數的另一種定義:開集的原象是開集以及開集和可測集的關系進行證明(見文［4－5］)，對定義域是實數集上區間的情形可參見［4］p183的例3.1.1.這種證明方法雖然簡潔方便，但由于要利用拓撲空間和測度空間的聯系，需要較深的測度論和拓撲學知識作為基礎，在教材中并不常見.下面，我們將用閉集上連續函數的性質，以及可測集與閉集之間的關系給出連續函數可測性的一個新的證明.

首先證明定義在閉集上的連續函數的一個性質.

證明 設x0是F［f≥a］的一個聚點，則存在xn∈F［f≥a］，n=1，2，…，使得xn→x0(n→∞).因為F是閉集，所以x0∈F.又因f連續，xn∈F［f≥a］，所以，并且f(xn)≥a，所以f(x0)≥a，即x0∈F［f≥a］.

從而集合F［f≥a］是閉集.

定義2［1］設集合F可表示為一列閉集{Fi}之并集:，則稱為F為Fσ型集.

為給出定理2的證明，下面首先回顧可測集和Fσ型集之間的關系.

引理1［2］點集ERk可測當且僅當存在Fσ型集FE，使得m*(EF)=0.

上面的引理實際上給出了實變函數中另外一個抽象概念——可測集與Borel集之間的一個關系.實際上，為給出可測集的清晰認識，一般用可測集和開集、閉集、Fσ型集和Gδ型集之間的關系來對可測集進行刻畫，引理1即是其中一個重要的刻畫.但是在實變函數的教材中，除了給出可測集的這種刻畫外，這些結果在可測函數及Lebesgue積分中很少用到.

下面我們利用可測集的這種刻畫給出連續函數可測性的一個新的證明.

定理2的新證明

設f是定義在可測集E上的連續函數.由于E是可測集，由引理1，存在Fσ型集F及一個零測度集N，使E=F∪N.由Fσ型集的定義，存在一列閉集從而

由于Fn是閉集，由引理可知Fn［f≥a］是閉集從而必然是可測集，而N［f≥a］作為零測度集N的子集也是可測集，由可測集的性質，可知對任意的實數a，E［f≥a］是可測集.由定義1，f是E上的可測函數.

在上面的證明中，利用定義在閉集上連續函數的性質以及可測集和Fσ型集之間的關系，給出了定義在可測集上連續函數可測性的一個新的證明.相對于連續函數可測性的一般證明方法，這里給出的方法只用到了連續函數的基本性質和可測集的基本性質，不需要對可測集進行精細的分解，也不需要過多的拓撲學基礎.其次，可測集的構造是實變函數中一個重要的內容，其與開集生成的Borel集，特別是開集、閉集、Gδ型集和Fσ型集的關系對于認識可測集有著重要的意義.本文中的這種方法可以說提供了二者關系的一個重要應用.

另外，由于閉集是可測集，由定理4可知，如果f是定義在閉集F上的連續函數，則f一定是定義在閉集F上的可測函數.

參考文獻:

［1］程其襄，張奠宙，魏國強.實變函數與泛函分析基礎［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［2］曹懷信.實變函數引論［M］.西安:陜西師范大學出版社，2008.

［3］周民強.實變函數論［M］.北京:北京大學出版社，2001.

［4］Royden H.L，Fitzpatrick P.M.Real Analysis［M］.4th ed.New York:Prentice Hall，2010.

［5］Rudin W.Real and Complex analysis［M］.3rd ed.New York:McGraw－Hill Companies，Inc.，1986.

［6］徐森林，薛春華.實變函數論［M］.北京:清華大學出版社，2009.

【責任編輯 牛懷崗】

A New Proof of the Measurability of Continuous Functions

YU Bao-min
(School of Mathematics and Information Science，Weinan Normal University，Weinan 714000，China)

A new proof of the measurability of continuous functions is given.Firstly，a property of a continuous function defined on a closed set is investigated.Then，combining this result and the relation between measurable functions and Fσ-sets，the measurability of continuous functions is proved.

continuous function;measurable function;measurable set;closed set;Fσ-set

book=61,ebook=47

O174.1

A

1009—5128(2012)06—0017—02

2012—03—05

渭南市科技計劃項目(2011YKJ－2);渭南師范學院科研計劃項目(12YKS026)

余保民(1973—)，男，陜西富平人，渭南師范學院數學與信息科學學院講師.研究方向:算子理論與小波分析.