相似實驗方法對機床立柱動力學的研究*

王延忠，孫紅梅，2

(1.北京航空航天大學機械工程及自動化學院，北京 100191;2.西安航空動力股份有限公司，西安 710021)

相似實驗方法對機床立柱動力學的研究*

王延忠1，孫紅梅1，2

(1.北京航空航天大學機械工程及自動化學院，北京 100191;2.西安航空動力股份有限公司，西安 710021)

以立式加工中心立柱動力學性能為研究對象，采用相似模型的實驗方法，以立柱具有的物理現象為研究內容，推導立柱相似模型遵守的相似法則，確定相似模型研究的各物理量的相似比，完成相似模型的結構設計，進行原模型的模態性能預測，實驗結果顯示誤差小于10%的有70%，誤差小于5%的有50%。結果表明大型復雜設備在設計階段采用相似模型設計方法是經濟可行的。

相似模型;相似法則;相似比

0 引言

相似模型是將某種物理現象的長度、時間、力、速度等縮小或擴大來進行實驗的裝置，在用相似模型進行的實驗，必須能夠再現原來的現象的本質［1］。例如航空航天使用的風洞試驗臺，它可以模擬高空中飛行器的工況，檢測飛行器的各項性能。結構模型是按縮尺(和足尺結構相比較)建成的任何結構構件或其組合體，且在整理分析模型試驗結果時，必須使用相似定律［2］。在以往的相似模型設計中，一般將設計對象作為一個整體處理，通過對相似模型的動力學實驗，驗證立柱的有限元分析結果。

1 機床立柱動力學的物理法則及相似代表值表達式

(1)牛頓慣性力:

(2)虎克彈性力:

(3)材料的內部摩擦定律:

以上公式顯示，系統研究的物理量有力、質量、加速度、密度，長度、時間、彈性模量、應變、阻尼和應變。這些物理量也是相似設計研究的對象。

2 立柱相似模型設計

2.1 機床立柱的相似分析及相似物理量

動力學特性研究是針對機床立柱的模態、動態進行研究。在相似模型設計過程中，所遵守的物理法則有牛頓慣性力、虎克彈性力、材料的內部摩擦定律。針對遵守的物理法則，可以確定相似模型設計需要的物理量。表1給出了各物理量在相似模型設計的量綱表示法。

表1 相似物理量明細表

2.2 用量綱分析法推導立柱的相似準則

相似模型的設計方法有物理法則法和量綱法兩種。物理法則法指的是通過研究對象遵守的物理法則，經過公式推導得到相似法則。而量綱法則是確定了與研究對象有關的物理量，根據量綱法的計算過程得到相似法則，不考慮研究對象所遵守的物理法則。也可以將兩種方法結合使用［3］。下面的相似法則的推導采用量綱法。

2.2.1 立柱模型相似準則的推導

機床立柱的模態相似設計的物理量有:時間t，力F，長度l，固有頻率f，材料的彈性模量E，材料密度 ρ，剛度 k。

物理參數數量n=8，基本量綱數k=3，則獨立π數的數量為8-3=5，可知系統的相似準則有5個。由第二相似定理，可將上式改寫為:

設相似準數的一般形式為:

系統的量綱矩陣如表2所示。

表2 物理參數量綱矩陣

因為只有3個方程，所以方程必須有5個已知量，假設 α1、α2、α3、α4、α8為方程中任意假定的已知量，則 α5、α6、α7分別表示為:

將式(7)(8)(9)代入(3)式，整理得到:

由式(10)得到π函數矩陣，如表3所示。

表3 π函數矩陣

由π矩陣確定5個相似準數:

模型設計階段相似條件:

下標m表示模型，p表示原型，β表示模型與原型的相似比。將式(12)代入(11)得到相似模型與原型應滿足的相似條件:

令πi=1，得到:

整理上述計算結果，得到模態相似準則，結果如表4。

表4 相似模型遵守的相似準則

2.2.2 相似比的確定

相似模型設計共使用的物理量有14個。在相似比的確定過程中，需要先給出一些獨立變量的相似比，再根據相似法則得出其余各量的相似比。由于模型的制造材料與原型機不同，所以材料的彈性模量相似比為鋁材與鑄鐵的彈性模量之比14/31。根據機床的外形尺寸選擇長度相似比為1/7。根據相似法則推導其余各物理量的相似比如表5。

表5 立柱的物理量相似比

2.2.3 相似條件的放寬

因為試驗自然環境與原型機工作環境都在重力作用下，所以選擇重力加速度與加速度值相等，相似比為1。模型材料為鋁，原型材料為鑄鐵，因此材料彈性模量相似比是定值，首先給出長度的相似比值，其余相似比值根據相似準則推導得到。因為σ=E·ε，ε本身就是一個無量綱數，一般取相似比ε=1，所以σ=E。

3 相似模型模態實驗

對固有頻率分析的實驗力學方法有很多，例如屬于光測力學范疇內的常見方法有激光全息干涉法，電子散斑計量法和數字散斑相關法，屬于信號處理技術的有模態測試分析法以及電測法等［4-7］。立柱相似模型實驗使用的測試設備及軟件為北京東方振動和噪聲研究所開發的DASP-V10機械結構模態測試儀。相似模型結構如圖1所示。

圖1 相似模型實體

采用單點激勵多點相應的數據采集方法，測得模型的前10階固有頻率如表6所示。

表6 試驗的模態頻率和阻尼

4 相似模型的有限元分析

當布置網格種子密度為10mm，單元類型為10結點修正二次四面體單元(C3D10M)［8］，定義模型材料為鋁，底面采用完全約束形式。劃分網格后提交作業，提取模型前10階固有頻率和振型。結果如表7。

表7 模型前10階固有頻率值

5 立柱有限元分析

采用三維繪圖軟件Proe建立立柱的三維模型，對模型進行簡化處理后導入有限元分析軟件ABAQUS，立柱底面為完全約束，立柱材料為鑄鐵，底面采用完全約束形式。劃分網格后提交作業，提取立柱前10階固有頻率和振型。由于篇幅原因，本文給出前2階振型圖。圖2為立柱的簡化模型，分析結果如表8及圖3、4。

圖2 立柱的簡化模型

表8 前10階模態頻率

圖3 立柱第一階振型

圖4 立柱第二階振型

6 結果

虛擬系統和實際系統相似精確度研究主要集中在兩個方向。一個是以綜合評價理論為指導，通過建立評價函數，然后將指標的樣本數據處理后代入評價函數來對虛擬樣機進行評價［9］;另一個是以相似理論為指導，通過計算虛擬樣機和物理樣機的相似程度來進行評價［10］。本文采用后一種評價方法。

實驗數據分析:首先將相似模型的實驗數據與有限元仿真數據進行對比，通過有限元計算數據與實驗數據的差除以實驗數據，說明有限元分析數據的可信度，數據見表9中的相似模型有限元分析誤差欄所示。同時將根據相似比得到的立柱前10階模態頻率與立柱的有限元分析數據進行誤差計算，說明相似實驗方法的可信度，數據見表9中的相似模型實驗誤差欄所示。

表9 相似模型模態頻率與有限元分析數據的誤差

7 結論

有限元計算結果與實際測量數據的誤差小于10%的占到70%，這可以說明有限元軟件的計算結果是可靠的，采用相似模型進行原模型的性能預測，誤差小于10%的有70%，誤差小于5%的有50%，這樣的實驗結果作為工程預測完全是可行的。

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Dynamic Performance of the Column of the Machine Tool With Similar Experimental Method

SUN Hong-mei1，2，WANG Yan-zhong1
(1.Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China;2.XI’AN AERO-ENGINE(GROUP)LTD，Xi’an 710021，China)

In the design stage，to adopt a similar model experiment to predict dynamic properties of column of the machining.according to physical phenomenon of column，derive similar rules that fitted to the column then caculated the Similar ratio of the model.Finally we complete the structural design of similar models.to prediction properties of the original model with the modal，it is about 70%test result that experimental error is less than 10%，about 50%test result that the experimental error is less than 5%.Which illustrates the similarity model design in large and complex equipment is economic and feasible.

simular model;similar rules;similar ratio

TH12

A

1001-2265(2012)11-0035-04

2012-02-28;

2012-03-17

“高檔數控機床與基礎制造裝備”科技重大專項(2009ZX04001)

王延忠(1963—)男，北京航空大學博士生導師，主要研究方向為數控加工仿真優化與虛擬加工、現代數控裝備動態分析與優化設計、機械傳動技術，(E-mail)yzwang63@126.com。

(編輯 趙蓉)