沖擊荷載下一端簡支一端固支高橋墩的動力屈曲

周 慧，李 禮，羅松南

(湖南大學 機械與運載工程學院工程力學系，長沙 410082)

橋墩是橋梁的重要支撐構件，由于主要承受軸向壓力作用，穩定性問題是該類構件要考慮的首要問題。由于運行中的車輛作用是動荷載，因此，對在動荷載作用下的高橋墩的動力屈曲分析的研究非常重要。目前的設計大多為參數共振問題，對沖擊荷載作用下的動力穩定問題也有一定的研究。對于動力屈曲問題，有不少學者進行了初步研究，嚴東晉等［1]對結構沖擊屈曲準則提出了討論;王安穩［2]研究了軸向沖擊荷載下圓柱殼的塑性動力屈曲的問題;張家忠等［3]基于時滯慣性流形對淺動力屈曲問題進行了研究;Razdolsky［4]計算了帶花紋圓柱的歐拉臨界力;文獻［5] 研究了直桿中沖擊載荷產生的前期效應以及后期效應，這些研究為研究沖擊荷載的臨界力奠定了基礎;魏勇等［6]研究了軸向沖擊載荷作用下直桿彈性動態屈曲;孫強等［7－10]對直桿的動力穩定性及參數共振問題做了一些探討;錢寧等［11]對壓彎桿件的動荷性能進行了分析;羅松南等［12]近期對兩端簡支高橋墩在沖擊荷載作用下的動力屈曲問題進行了研究。

本文研究橋墩在三角形沖擊荷載及矩形沖擊荷載作用下的動力屈曲問題，考慮剪切變形和大位移的影響建立了動力學基本方程式。通過數值算例比較了三角形沖擊荷載和矩形沖擊荷載作用下的荷載－位移響應曲線;給出了矩形沖擊荷載作用下，各種幾何參數和荷載參數對臨界荷載的影響。分析了B-R準則的局限性，給出了高橋墩動力屈曲的全過程。可為工程設計提供依據。

1 基本方程式

將高橋墩簡化為如圖1所示一端簡支另一端固支的等截面受壓圓柱，根據橋墩承受恒載和活載的承載特點，將軸力假設為N0+N1(t)，其中N0為靜荷載部分，N1(t)為沖擊荷載部分。設柱長為l，截面直徑為d。在臨界荷載作用下，柱產生彎曲，設中面位移為u0(x，t)，w0(x，t)，橫截面轉角為φ(x，t)。則柱內任意一點的位移可表示為［13－14]:

應變分量可表示為:

應用本構方程以及應力與內力之間的關系可得內力與位移的關系為:

圖1 一端固支一端簡支高橋墩簡化模型圖Fig.1 Simplified model of high pier with one end simply supported and other end fixed

其中，N，Q和M分別為柱內的軸力(以壓為正)、剪力和彎矩;E為材料的彈性模量;Q為材料的剪切彈性模量;A為柱的橫截面面積;I為橫截面對y軸的慣性矩。

考慮微段的內力平衡，忽略軸向和轉動慣性力的影響，可得到平衡微分方程為:

其中ρ為材料的質量密度。

該問題的邊界條件為:

x=0時，

設該問題的初始條件為:

將式(3)至式(5)代入式(6)至式(8)，得到用w，φ和N表示的基本方程式:

由式(14)可以得到:

2 求解方法

設基本方程式具有如下形函數解:

上述形函數滿足邊界條件式(9)和式(10)。

將式(16)至式(18)代入基本方程式(12)至式(15)，并應用伽遼金積分可得:

其中a1至a10為伽遼金積分后有關的常數。

由式(21)可得:

將式(22)代入式(19)式可得:

將式(22)和式(23)代入式(20)，可得:

其中:

由式(24)通過數值計算可以得到位移w(t)，把w(t)代入式(22)可以求出轉角 φ(t)，把w(t)代入式(23)可以求出內力N(t)。

本文將利用差分形式和間接采用泰勒級數且具有其截斷誤差為O(h5)的四階Runge-Kutta法［15]進行數值求解，給定N0和N1，求出位移w。參照文獻［14] 中Ellishakoff的觀點，采用B－R準則確定臨界沖擊荷載，即當沖擊荷載微小增加但柱的最大位移發生較大的增量時，對應的荷載為臨界荷載值，即沖擊屈曲發生。因此問題的關鍵是給出在沖擊荷載N1(t)作用下w(t)的變化規律，找出臨界位移點，進而確定臨界沖擊荷載。

3 數值求解

設高橋墩為C30混凝土，其具體參數為:E=30 GPa，ρ=2.6 ×103kg/m，ν=0.2，l=25 m，d=1.0 m(λ=100)，此時橋墩的靜力失穩臨界力為Ncr=4.745 8×107N，荷載分別為三角形沖擊荷載和矩形沖擊荷載，設沖擊荷載部分的峰值為N1，以后用k1=N1/Ncr來描述沖擊荷載峰值，用k0=N0/Ncr來描述靜載值。設沖擊荷載的持續時間為t0=2 s。

圖2給出了矩形和三角形形式的兩種不同沖擊荷載作用下，當k0=0.7時的k1～wmax(t)曲線。在三角形沖擊荷載下，從k1～wmax(t)曲線可知，隨著k1的增加，wmax存在一個快速突變的區域，而不是一個點，此時后屈曲路徑是穩定的。根據B－R準則［16]的定義，如果受沖擊的結構在微小作用增量下引起劇烈響應，則認為結構屈曲，因此B－R準則在這里的應用有一定的困難。在矩形沖擊荷載作用下，當k1達到某個值后，對應k1的微小增加wmax有顯著的增加，為方便應用B－R準則，定義位移wmax=0.15 m為臨界位移wcr時對應的快速突變區域內有k1=0.309 74=kcr。為表述的一致性，以后對應于λ=100的柱依然選取wcr=0.15 m。

圖3給出了矩形沖擊荷載作用下，當k0=0.6時的k1～wmax(t)曲線。與圖2中k0=0.7時矩形荷載的變化規律比較可知，當k0越小時，上述規律依然成立，并且kcr越大。

圖2 不同形式沖擊荷載下，k1～wmax(t)的變化曲線Fig.2 The loads-displacement curves under different impulse loads

圖3 矩形荷載下，k0=0.6時，k1～wmax(t)變化曲線Fig.3 The loads-displacement curves under rectangle impulse load(k0=0.6)

圖4 不同k1時，w(t)隨時間t的響應曲線Fig.4 The displacement response curves under rectangle impulse loads for different k1

圖4 給出了在矩形沖擊荷載下，當k0=0.7，不同k1時位移響應曲線，由圖中可見，當k1＜kcr=0.309 74時，位移響應為幅值較小的振動，橋墩處于穩定狀態，當0.309 74＜k1＜0.341 35時，位移響應為幅值較大的振動，橋墩處于大幅振動狀態;如果將k1＜0.341 35都視為穩定狀態，符合B－R準則判別方法。當k1≥kb=0.341 35時，橋墩不發生振動，撓度趨于無限大使橋墩彎曲破壞。圖4的響應曲線的變化全面描述了橋墩隨著沖擊荷載幅值的增加時的失穩路徑。

圖5給出了在矩形沖擊荷載下k0=0.7時，沖擊臨界荷載值kcr隨持續時間t0的變化曲線。當t0較小時，kcr隨t0的增加而迅速減少;但當t0較大時，kcr隨t0的增加而緩慢減少。這說明高橋墩具有較強的短時抗沖擊能力。由曲線的下降趨勢可以看出，三角形沖擊荷載的減少幅度比矩形沖擊荷載的減少幅度大。

圖5 矩形荷載下，k1cr隨沖擊持續t0的變化曲線Fig.5 The critical loads curves for different persist time under rectangle impulse loads

圖6 不同λ時，N1～wmax(t)變化曲線Fig.6 The N1～ wmax(t)curves for differentλunder rectangle impulse loads

圖6 給出了在矩形沖擊荷載下，當k0=0.7時，不同柔度系數下的N1～wmax(t)曲線。當柔度系數不同時，對應的臨界位移值不同，wcr隨λ的減小而減小;當柔度系數越小時，臨界沖擊荷載幅值越大。

4 結論

本章對混凝土高橋墩在一端簡支一端固支情況下受到三角形沖擊荷載和矩形沖擊荷載作用時的非線性動力屈曲荷載進行了分析，給出了沖擊荷載作用下的位移響應曲線，描述了高橋墩的動力屈曲路徑，分析了各種幾何參數和荷載參數對動力屈曲的影響。

(1)在三角形沖擊荷載和矩形沖擊荷載作用下，當高橋墩動力屈曲時，前者的臨界值要比后者大得多;BR準則應用于三角形沖擊荷載作用時是偏于安全的，同時可見沖擊荷載的持續時間對高橋墩的動力穩定性有很大的影響。當荷載超過臨界值kcr的某一區域時，高橋墩會產生大幅值振動，但并不會彎曲失效，這一點與靜力屈曲和線彈性動力屈曲不同。只有當沖擊荷載k1＞kb時，高橋墩才會撓度趨于無限大而彎曲破壞。

(2)高橋墩具有較強的短時抗沖擊能力，當沖擊荷載的持續時間延長時，高橋墩的抗沖擊能力明顯減弱。

柔度系數對臨界位移(或對應的臨界沖擊荷載)有很大的影響，當柔度系數越小時，臨界沖擊荷載幅值越大。

［1] 嚴東晉，宋啟根.結構沖擊屈曲準則討論［J] .工程力學，1997，11(4):18－28.

［2] 王安穩.軸向沖擊載荷下圓柱殼的塑性動力屈曲的問題［J] .海軍工程大學學報，2004，16(6):1－8.

［3] 張家忠，陳麗鶯，梅冠華，等.基于時滯慣性流形的淺拱動力屈曲研究［J] .振動與沖擊，2009，28(6):100 －103，167.

［4] Razdolsky A G.Euler critical force calculation for laced columns［J] .Journal of Engineering Michanics，2005，131(10):997－1003.

［5] Blandford G E.Large deformation analysis of inelastic space truss structures［J] .Journal of Structural Engineering，1996，122(4):407－415.

［6] 魏 勇，朱兆祥，李永池.軸向沖擊載荷作用下直桿彈性動態屈曲的研究［J] .實驗力學，1988，3(3):258－263.

［7] 孫 強，楊大軍.彈性介質中直桿的動力穩定性研究［J] .力學學報，1997，14(1):87－91.

［8] 孫 強，張本福.初彎曲對桿件的動力性能影響［J] .工業建筑，1998，28(3):35－36.

［9] 孫 強.變截面桿的動力穩定性研究［J] .四川建筑科學，1999，24(2):44－46.

［10] 孫 強，夏鷺平.階梯形受壓柱的動力穩定性研究［J] .工業建筑，2000，30(7):36－38.

［11] 錢臨寧，孫 強.壓彎桿件的動荷性能分析［J] .力學與實踐，2003，25(1):32－34.

［12] 羅松南，李 禮，周 慧，等.沖擊荷載下兩端簡支高橋墩的動力屈曲［J] .振動與沖擊，2009，28(12):1 －3.

［13] Luo S N，Fu Y M，Cao Z Y.Non-linear vibration of composite beams with an arbitrary delamination［J] .Journal of Sound and Vibration，2004，271:535 －545.

［14] 羅松南，傅衣銘，曹志遠.梁非線性動力分析中剪切力和軸力的相互影響［J] .湖南大學學報，1999，6(3):9－12.

［15] 劉利斌，王 偉.四階Runge-Kutta算法的優化分析［J] .成都大學學報，2007，3(1):19－21.

［16] 王德禹.受靜載作用的直桿在軸向沖擊荷載下的屈曲［J] .振動與沖擊，1997，16(1):35－37.