天基支援下反導(dǎo)預(yù)警時間窗口仿真分析

呂文平,李為民,謝 鑫

(空軍工程大學(xué)導(dǎo)彈學(xué)院,陜西 三原 713800)

0 引言

充足的預(yù)警時間是反導(dǎo)有效進行的必要前提,能保證反導(dǎo)武器系統(tǒng)有足夠的反應(yīng)時間并最大限度地實現(xiàn)遠(yuǎn)界攔截。反導(dǎo)預(yù)警時間窗口是反應(yīng)預(yù)警時間表征,對該時間窗口的研究是預(yù)警時間的組成和關(guān)鍵因素分析的重要內(nèi)容[1]。

預(yù)警系統(tǒng)可分為天基預(yù)警系統(tǒng)、空基預(yù)警系統(tǒng)和面基預(yù)警系統(tǒng)。天基預(yù)警的覆蓋面廣、監(jiān)視區(qū)域大,能盡早發(fā)現(xiàn)來襲戰(zhàn)術(shù)彈道導(dǎo)彈(TBM),對其在反導(dǎo)作戰(zhàn)中的應(yīng)用進行了大量研究。文獻[2、3]較系統(tǒng)地分析了國內(nèi)外天基導(dǎo)彈預(yù)警系統(tǒng),但主要側(cè)重于定性分析。文獻[4]對反導(dǎo)作戰(zhàn)信息流的時延進行了建模,但主要關(guān)注信息流程設(shè)計而非預(yù)警時間分析。文獻[1]對預(yù)警時間窗口進行了研究,但預(yù)警手段僅考慮了地基雷達,未考慮天基預(yù)警衛(wèi)星的支援。天基支援下反導(dǎo)預(yù)警時間窗口是指從天基預(yù)警衛(wèi)星發(fā)現(xiàn)來襲的彈道導(dǎo)彈至防御方攔截系統(tǒng)最晚發(fā)射攔截彈經(jīng)歷的時間。本文對天基支援下反導(dǎo)預(yù)警時間窗口進行了仿真研究。

1 反導(dǎo)預(yù)警時間窗口數(shù)學(xué)描述

根據(jù)預(yù)警時間窗口的定義,預(yù)警時間窗口主要取決于發(fā)現(xiàn)目標(biāo)時刻和攔截系統(tǒng)最晚發(fā)射攔截彈時刻。其中,前者主要由天基預(yù)警衛(wèi)星的探測距離、部署位置,以及掃描速率確定,后者則由攔截彈的殺傷區(qū)確定。基于天基預(yù)警衛(wèi)星的預(yù)警時間窗口如圖1所示。圖中：t0為TBM的關(guān)機點時間;taw為天基預(yù)警衛(wèi)星發(fā)現(xiàn)目標(biāo)時間;tw為攔截彈與TBM最晚遭遇點;tfw為攔截彈最晚發(fā)射時間點。

實際反導(dǎo)作戰(zhàn)中,反導(dǎo)預(yù)警時間窗口取決于攻防雙方諸多因素,與TBM目標(biāo)特性、預(yù)警系統(tǒng)預(yù)警性能、火力攔截系統(tǒng)戰(zhàn)技性能及具體戰(zhàn)場環(huán)境均相關(guān)。

根據(jù)攔截彈的運動特性,假設(shè)攔截彈到達遭遇點的飛行時間為Δtw,則tfw=tw-Δtw,天基支援下反導(dǎo)預(yù)警時間窗口可表示為Tew=[taw,tfw]。

圖1 天基支援下反導(dǎo)預(yù)警時間窗口Fig.1 Early warning time window with support of space based early warning satellite

2 實體模型

2.1 TBM助推段彈道數(shù)學(xué)模型

TBM彈道即TBM質(zhì)心在空間的運動軌跡。在發(fā)射坐標(biāo)系中對TBM助推段彈道進行建模。TBM助推段飛行受力又受控,運動特性較復(fù)雜,作用于彈體的力和力矩有發(fā)動機推力、控制力和控制力矩、空氣動力和空氣動力矩、重力,此外還需考慮地球自傳引起的牽連慣性力和柯氏慣性力。發(fā)射坐標(biāo)系中TBM助推段質(zhì)心運動微分方程組(即TBM助推段彈道數(shù)學(xué)模型)可表示為

式中：vx,vy,vz為TBM飛行速度矢量v在發(fā)射坐標(biāo)系各軸分量;x,y,z為TBM在發(fā)射坐標(biāo)系中位置坐標(biāo);h為TBM飛行高度;為地球平均半徑;δφ,δφ為發(fā)動機當(dāng)量擺動俯仰角和偏航角;Pe為發(fā)動機有效推力,與TBM彈體縱軸方向一致;R(為一對燃?xì)舛娴目刂屏μ荻?m,m0,分別為TBM飛行質(zhì)量、初始質(zhì)量和推進劑質(zhì)量秒流量;gx,gy,gz為重力G在發(fā)射坐標(biāo)系各軸分量;為牽連加速度在發(fā)射坐標(biāo)系各軸分量;為柯氏加速度在發(fā)射坐標(biāo)系各軸分量;為彈體坐標(biāo)系至發(fā)射坐標(biāo)系的變換陣;為速度坐標(biāo)系至彈體坐標(biāo)系的變換陣;X,Y,Z為空氣動力R在速度坐標(biāo)系各軸分量,相應(yīng)為阻力、升力、側(cè)力[5]。

根據(jù)TBM助推段彈道數(shù)學(xué)模型式(1)～(5),以發(fā)射時刻tL為仿真零點,取仿真步長Δt=1 s,發(fā)射點大地經(jīng)緯度取東經(jīng)0°、北緯20°,大地瞄準(zhǔn)方位角45°,則TBM助推段彈道仿真結(jié)果如圖2、3所示。由圖2可知：TBM助推段飛行過程中在ZL軸方向偏移量較小,可近似認(rèn)為它僅在發(fā)射平面XLOLYL內(nèi)運動。

圖2 TBM助推段彈道仿真結(jié)果Fig.2 Trajectory simulation of TBM on boosting phase

圖3 TBM助推段彈道仿真速度參數(shù)Fig.3 Velocity simulation of TBM on boosting phase

2.2 TBM被動段彈道數(shù)學(xué)模型

可依橢圓導(dǎo)彈理論對TBM被動段進行建模。其要點是由關(guān)機點參數(shù)構(gòu)造橢圓彈道計算被動段射程角、射程及飛行時間,并由開普勒方程解算橢圓彈道參數(shù)序列,即任意時刻t(tK≤t≤tC)TBM地心距rt、速度vt和俯仰角Θt。TBM被動段彈道數(shù)學(xué)模型詳細(xì)解算步驟如下[6]。此處：tK,tC分別為關(guān)機點和落點時刻。

a)構(gòu)造橢圓彈道

設(shè)TBM關(guān)機點參數(shù)為：地心距rK,速度vK,俯仰角ΘK,如圖4所示。則橢圓彈道參數(shù)半長軸a、半通徑p、偏心率e、半短軸b、半焦距c滿足

式中：μ為地球引力常數(shù)。

b)橢圓彈道參數(shù)序列生成

設(shè)任意時刻t(tK≤t≤tC)TBM的參數(shù)為地心距rt、速度vt、俯仰角Θt。取仿真步長為Δt,則求解橢圓彈道參數(shù)序列的方法步驟如下。

步驟a)：求解時間參數(shù)τ(即過近地點時刻)。由開普勒方程n(t-τ)=E-e sin E,可得

式中：n為平均角速度;E為偏近點角;EK為關(guān)機點偏近點角。

步驟b)：由開普勒方程采用迭代法,求解時刻t偏近點角Et。時刻t的平近點角

進行迭代計算,直至滿足迭代終止條件

為止。此處：ΔM為中間迭代變量;ε為門限值。則時刻t偏近點角。

步驟c)：由Et求解rt,vt,Θt。有

式中：vrt,vft分別為徑向與法向速度,且vrt=?。

步驟d)：取推進時間步長t=t+Δt,并判斷是否滿足終止條件t≥tC,若滿足,結(jié)束;否則繼續(xù)步驟b)～d)。

由上述TBM被動段彈道數(shù)學(xué)模型,對射程1 000 km的TBM,以tk為仿真零點,取仿真步長Δt=1 s,關(guān)機點參數(shù)為rK=90 000+m;vt=2 437 m/s;Θt=45°,則TBM被動段彈道仿真結(jié)果如圖5所示。需指出,上述橢圓彈道地心距、速度參數(shù)序列是在二維彈道平面解算而得的絕對值,若欲將其表示為參考時刻取關(guān)機點時刻tk的地心慣性(ECI)坐標(biāo),則還需進行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。

圖5 TBM仿真彈道地心距、速度和俯仰角參數(shù)序列Fig.5 Trajectory simulation result of distance to earth center,velocity and up and down angle

2.3 攔截彈彈道模型

根據(jù)攔截彈飛行彈道方案,并參考固體火箭彈道設(shè)計有關(guān)資料,攔截彈飛行助推段的攻角

式中：t1為攔截彈垂直段結(jié)束時間;αm為攻角絕對值的最大值;λ為常系數(shù),且2λ=ln 2/(tm-t1);t2為攻角恢復(fù)為零的時刻;tk為發(fā)動機關(guān)機時刻[7]。

建立攔截彈的彈道模型時,按理想彈道模型進行計算,即不考慮地球扁率、大氣和控制系統(tǒng)等的影響。攔截彈的彈道模型可表示為

式中：φpτ(t)為俯仰角;θ為速度方向與發(fā)射點水平線的夾角;η為極坐標(biāo)角;α(t)為攻角;g為當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?g0為海平面重力加速度;Re為地球半徑;h為攔截彈的飛行高度;m(t)為TBM飛行質(zhì)量;P(t)為發(fā)動機推力;vgx,vgy分別為攔截彈在x、y向的速度分量;xg,yg分別為攔截彈在x、y向的坐標(biāo)值;CD為阻力系數(shù);ρ為空氣密度;為升力系數(shù);S為導(dǎo)彈橫截面積[8]。

為保證在攔截不同斜距或不同高度目標(biāo)時的計算可靠實時,可采用分段形式描述的擬合公式形式,給出攔截導(dǎo)彈飛至不同斜距及高度時的運動學(xué)特性,即以導(dǎo)彈飛至不同斜距R和高度H為參數(shù),給出它所對應(yīng)的平均速度

3 預(yù)警時間窗口計算模型

由預(yù)警時間窗口的數(shù)學(xué)描述可知,預(yù)警時間窗口的求解需獲知參數(shù)taw,tfw。計算時,不考慮TBM在發(fā)射平面內(nèi)的橫向偏移。取初始時刻t0為TBM發(fā)射點時刻,計算步長為Δt,則t0及以后各時刻可表示為

式中：k=0,1,2,…,n。

3.1 預(yù)警衛(wèi)星發(fā)現(xiàn)目標(biāo)時間

因采用GEO預(yù)警衛(wèi)星,故可參照美DSP預(yù)警衛(wèi)星工作方式,即星載傳感器按一定角速度ωS循環(huán)往復(fù)地對特定區(qū)域進行圓周掃描,即對特定區(qū)域中任一TBM可能發(fā)射點,預(yù)警衛(wèi)星每隔60/ωSs可掃描1次。由此,假設(shè)預(yù)警衛(wèi)星星下點S地心經(jīng)緯度為αS,δS,TBM可能發(fā)射點B地心經(jīng)緯度為αL,δL;預(yù)警衛(wèi)星從時刻t0,由初始相位以ωS掃描監(jiān)測TBM可能發(fā)射點,如圖6所示。

圖6 GEO預(yù)警衛(wèi)星對TBM發(fā)射點探測Fig.6 Detection of TBM's launch point with using of GEO early warning satellite

圖6中,預(yù)警衛(wèi)星初始相位取零相位,即正東。則在任意時刻t,可用

判斷GEO預(yù)警衛(wèi)星是否能掃描到發(fā)射點B。若由式(32)算得k為一整數(shù),則說明預(yù)警衛(wèi)星在時刻t能掃描到發(fā)射點B,否則不能。此處：ΔtB為預(yù)警衛(wèi)星從初始相位(零相位)開始掃描至第一次掃描到發(fā)射點B所經(jīng)歷的時間,且

式中：σB為赤道圈與大圓弧SB之間的夾角(即預(yù)警衛(wèi)星掃過的角),且

此處：Δα=αL-αS;Δδ=γL-δS。

則可知,若時刻t,TBM可能發(fā)射點B恰好發(fā)射一枚TBM,則星載傳感器通過接收助推TBM火箭發(fā)動機噴焰的紅外輻射信號,便可探測到該TBM發(fā)射。依據(jù)仿真需要,對星載傳感器探測紅外輻射信號進行了簡化：即判斷TBM紅外輻射波長λ是否靠近傳感器峰值波長λp,有

式中：Δλ1,Δλ2分別為傳感器在峰值波長λp附近有效敏感的下移波長浮動量和上移波長浮動量,即傳感器對波長的敏感范圍為(λp-Δλ1,λp+Δλ2)。若式(34)成立,則判斷星載傳感器能探測到助推段TBM火箭發(fā)動機噴焰的紅外輻射信號,否則不能。

3.2 攔截彈最晚發(fā)射時間

設(shè)攔截彈的部署位置在TBM彈道平面上,即攔截彈發(fā)射點坐標(biāo)為(XL,YL),TBM飛行過程中時刻t位置為(XB(t),YB(t))。由殺傷判定原則,攔截彈最晚發(fā)射時間與攔截彈的殺傷低界和近界斜距兩個戰(zhàn)技參數(shù)有關(guān)。則TBM相對攔截發(fā)射點的高度

TBM至攔截彈發(fā)射點斜距為

若已知攔截導(dǎo)彈在攔截過程中的速度v(R(t),H(t)),則攔截彈飛至目標(biāo)時刻t位置所需時間

攔截彈最晚發(fā)射時間計算判斷準(zhǔn)則為R(t)≥Rmin,H(t)≥Hmin。此處：Hmin為攔截彈的殺傷低界;Rmin為攔截彈近界斜距。若上述條件中有任何一個不滿足,則最晚早發(fā)射時刻計算結(jié)束,即

這樣,預(yù)警時間窗口可表示為

4 算例

設(shè)攔截彈戰(zhàn)技參數(shù)為Hmin=25 km,Rmin=30 km,攔截彈的發(fā)射位置部署在TBM落點附近。

當(dāng)TBM的射程R分別為500,1 000,2 000,3 000 km時,天基預(yù)警支援下對不同射程TBM的預(yù)警時間窗口進行仿真,結(jié)果如圖7所示。圖中,對天基支援下不同射程的TBM均有較好的預(yù)警時間窗口,所得最大預(yù)警時間窗口為913 s,基本能滿足作戰(zhàn)需求。所探測的TBM射程越短,天基支援的效用就越大,主要表現(xiàn)為對TBM初始段的有效預(yù)警。本文仿真中,對射程500 km的TBM,天基預(yù)警支援下能獲得315 s的預(yù)警時間窗口,可見天基預(yù)警支援作用明顯。

圖7 不同射程TBM天基支援下反導(dǎo)預(yù)警時間窗口仿真結(jié)果Fig.7 Simulation result of antimissileearly warning time window for early warning satellite with different firing range TBM as target

為分析天基預(yù)警的支援作用,有無天基預(yù)警支援時(均有地基遠(yuǎn)程預(yù)警雷達)的預(yù)警時間窗口進行了仿真。取TBM射程2 000 km,結(jié)果如圖8所示。圖中：r為地基雷達部署距離。由圖可知：地基雷達部署距離越遠(yuǎn),天基預(yù)警衛(wèi)星的支援作用則越明顯,支援下能獲得較地基雷達平均長120 s的預(yù)警時間窗口。分析其原因,一是地基遠(yuǎn)程預(yù)警雷達的作用距離有限且受地球曲率和地面障礙物的影響,導(dǎo)致其遠(yuǎn)程、中遠(yuǎn)程TBM的初始段探測能力相對較弱;二是因為天基預(yù)警衛(wèi)星憑借其紅外探測原理和居高臨下的優(yōu)勢,對TBM初始段有較強的探測能力,基本不受TBM射程的影響。

圖8 有無天基支援下反導(dǎo)預(yù)警時間窗口比較Fig.8 Comparison result antimissile early warning time window between useof early warning and no use satellite

5 結(jié)束語

本文對天基支援下反導(dǎo)預(yù)警時間窗口進行了仿真分析。結(jié)果表明：天基支援能明顯擴展反導(dǎo)預(yù)警時間窗口;TBM射程越遠(yuǎn),天基支援所提供的預(yù)警時間窗口擴展凈值越大;TBM射程越近,天基支援所提供的預(yù)警時間窗口擴展作用反有所增加。

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