從一維半無(wú)限高方勢(shì)阱的能級(jí)過(guò)渡到一維無(wú)限深方勢(shì)阱的能級(jí)

鄭文禮， 楊 巍

（河北民族師范學(xué)院 物理系，河北 承德 067000）

從一維半無(wú)限高方勢(shì)阱的能級(jí)過(guò)渡到一維無(wú)限深方勢(shì)阱的能級(jí)

鄭文禮， 楊 巍

（河北民族師范學(xué)院 物理系，河北 承德 067000）

先從定態(tài)薛定諤方程求解出一維無(wú)限深方勢(shì)阱的能級(jí)公式及波函數(shù)，再?gòu)囊痪S半無(wú)限高方勢(shì)阱的能級(jí)圖解圖導(dǎo)出一維無(wú)限深方勢(shì)阱的能級(jí)公式，說(shuō)明一維無(wú)限深方勢(shì)阱的能級(jí)確實(shí)是一維半無(wú)限高方勢(shì)阱的能級(jí)在特定條件下的極限。最后還對(duì)一維半無(wú)限高方勢(shì)阱的能級(jí)數(shù)目進(jìn)行了討論，并給出了相應(yīng)的判別公式。

一維方勢(shì)阱；能級(jí)；判別公式

引言

求解量子束縛體系的能級(jí)是量子力學(xué)的重要任務(wù)。本文先從定態(tài)薛定諤方程求解出一維無(wú)限深方勢(shì)阱的能級(jí)及波函數(shù)，然后用圖解的方法求解出一維半無(wú)限高方勢(shì)阱的能級(jí)，采用取極限的方法將一維半無(wú)限高方勢(shì)阱的能級(jí)過(guò)渡到一維無(wú)限深方勢(shì)阱的能級(jí)。這種方法對(duì)求解其它形式勢(shì)阱的能級(jí)具有指導(dǎo)作用。

1 一維無(wú)限深方勢(shì)阱的能級(jí)[1][2][3][4]

在一維空間中運(yùn)動(dòng)的粒子，它的勢(shì)能在一定的區(qū)域內(nèi)（-a

圖1 一維無(wú)限深方勢(shì)阱

這種勢(shì)稱為一維無(wú)限深方勢(shì)阱。在Ι區(qū)勢(shì)能為0，根據(jù)定態(tài)薛定諤方程可得出Ι區(qū)的定態(tài)薛定諤方程為又因?yàn)轶w系在一維空間中，所以Ⅰ區(qū)的定態(tài)薛定諤方程為

而在阱外的Ⅱ區(qū)和Ⅲ區(qū)的定態(tài)薛定諤方程為

（3）式中U0=∞。根據(jù)波函數(shù)應(yīng)滿足的連續(xù)性條件，得出ψI(a)=ψⅡ(a)，ψI(-a)=ψⅢ(-a)。

同理（3）式可改寫成

（6）式為二階常系數(shù)線性齊次微分方程，其通解是

其中A，B為常量。（7）式的通解為

其中C，D為常量。分區(qū)間寫成

其中B′，A′，B″，A″均為常量。

由于波函數(shù)滿足有限性，當(dāng)x→∞時(shí)，ψⅡ應(yīng)有限，于是B′=0；同理當(dāng)x→-∞時(shí)，A″=0。所以（9）式改寫為

（10）式改寫為

由于波函數(shù)滿足連續(xù)性，得到ψI(a)=ψⅡ(a)=0，ψI(-a)=ψⅢ(-a)=0。

這是一個(gè)二元一次方程組，系數(shù)A，B不能全為零的充分必要條件為

即ei2αa-e-i2αa=0，根據(jù)歐拉公式，將它展開得則則當(dāng)n=0時(shí)，滿足Aeiαa+Be-iαa=0，得到A+ B=0。因?yàn)棣?x)=Aeiαx+Be-iαx，當(dāng)n=0時(shí)，ψ(x)=A+B=0。即當(dāng)n=0時(shí)，對(duì)應(yīng)于ψ恒為零的解，這是平凡解，是無(wú)意義的。當(dāng)n=-1,-2,-3……的解與n等于相應(yīng)正整數(shù)的解線性相關(guān)（差一負(fù)號(hào)），不給出新的解，所以n等于負(fù)整數(shù)時(shí)都不取新的解。將代入

得到

將A=(-1)n+1B代入ψI(x)=Aeiαx+Be-iαx中，當(dāng)n= 1,3,5,…時(shí)，有A=B，于是ψI(x)=A(eiax+e-iax)=2Acosαx=當(dāng)n=2,4,6…時(shí)，A=-B，則

又因?yàn)椴ê瘮?shù)滿足歸一化條件，而且ψⅡ(x)=ψⅢ(x)=0，則有

一維無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子的定態(tài)波函數(shù)為

圖2 一維無(wú)限深方勢(shì)阱能級(jí)圖

2 一維半無(wú)限高方勢(shì)阱的能級(jí)[5]

一維半無(wú)限高方勢(shì)阱的勢(shì)阱圖為圖3。

圖3 一維半無(wú)限高方勢(shì)阱

一維半無(wú)限高方勢(shì)阱的表達(dá)式為

因?yàn)椋?6）式與一維無(wú)限深方勢(shì)阱Ι區(qū)的方程相同，故在0

對(duì)于Ⅱ區(qū)，E>U0的散射情況在此不作討論，僅討論0E>0時(shí)，令λ=方程通解為ψⅡ=B′eλx+A′e-λx。又由于波函數(shù)的有限性，當(dāng)x→∞時(shí)，B′= 0。

由于波函數(shù)的連續(xù)性，ψ(x)在x=0處應(yīng)保持連續(xù)，即ψⅢ(0)=ψI(0)，得到A+B=0。由于ψ(x)在x=a處作有限跳躍，故ψ(x)在x=a處仍應(yīng)保持連續(xù)，即ψI(a)=ψⅡ(a)，Aeiαa+Be-iαa=A′e-λa，由于A+B=0，上述方程化簡(jiǎn)為

解之，得i2Asinαa=A′e-λa，即

這是一個(gè)典型的超越方程，一般只能用圖解法給出數(shù)值解，而不能用一般的函數(shù)關(guān)系式表示其解。又因?yàn)椋淼脛t

當(dāng)α0→∞時(shí)，則U0→∞，則半無(wú)限高方勢(shì)阱變?yōu)闊o(wú)限深方勢(shì)阱，P1,P2,P3……分別與……重合，即可推知，pn與重合，相應(yīng)的

由于這里的勢(shì)阱寬度為a，如果將a變?yōu)?a,即與一維無(wú)限深方勢(shì)阱的寬度相同，則能級(jí)公式變?yōu)?/p>

于是一維半無(wú)限高方勢(shì)阱的能級(jí)公式便過(guò)渡到了一維無(wú)限深方勢(shì)阱的能級(jí)公式。說(shuō)明一維無(wú)限深方勢(shì)阱是一維半無(wú)限高勢(shì)阱在兩邊勢(shì)壁無(wú)限高，阱寬相同情況下的特例。

3 討論

由半無(wú)限高方勢(shì)阱能級(jí)圖解圖可以看出，半無(wú)限高方勢(shì)阱至少存在一個(gè)束縛態(tài)的條件是α1=α0所以

4 總結(jié)

本文先從定態(tài)薛定諤方程求解出一維無(wú)限深方勢(shì)阱的能級(jí)公式及波函數(shù)，再?gòu)囊痪S半無(wú)限高方勢(shì)阱的能級(jí)圖解圖導(dǎo)出一維無(wú)限深方勢(shì)阱的能級(jí)公式，說(shuō)明一維無(wú)限深方勢(shì)阱的能級(jí)確實(shí)是一維半無(wú)限高方勢(shì)阱的能級(jí)在特定條件下的特例。從對(duì)一維半無(wú)限高方勢(shì)阱的能級(jí)數(shù)目討論的過(guò)程中，總結(jié)出了相應(yīng)的能級(jí)判別公式。采用本方法可以研究二維甚至是三維勢(shì)阱的能級(jí)。

[1]周世勛,陳灝.量子力學(xué)基礎(chǔ)[M].高等教育出版社,2009.

[2]關(guān)洪.量子力學(xué)基礎(chǔ)[M].高等教育出版社，1999.

[3]周世勛.量子力學(xué)簡(jiǎn)明教程[M].高等教育出版社,1979.

[4]張慈.量子力學(xué)簡(jiǎn)明教程[M].高等教育出版社,1979.

[5]唐啟祥.從一維半無(wú)限高方勢(shì)阱的能級(jí)過(guò)渡到一維無(wú)限深方勢(shì)阱的能級(jí)[J].文山師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),2002,14(5)：69-72.

O413.1

A

2095-3763（2012）02-0056-04

2012-02-20

鄭文禮（1968-），男，滿族，河北平泉人，河北民族師范學(xué)院物理系副教授，研究方向?yàn)榈途S半導(dǎo)體結(jié)構(gòu)中電子、激子態(tài)。