傅里葉變換計算全息彩色再現

孫 萍，王 眾，羅玉晗，魏祎雯

（北京師范大學a.物理系；b.北京市應用光學重點實驗室，北京100875）

傅里葉變換計算全息彩色再現

孫 萍a，b，王 眾a，b，羅玉晗a，b，魏祎雯a，b

（北京師范大學a.物理系；b.北京市應用光學重點實驗室，北京100875）

通過博奇編碼獲得傅里葉變換計算全息圖，將其加載在空間光調制器上進行光學再現，分析了影響再現像分辨率和色彩還原性的因素.實驗結果表明：基元尺寸與再現像的大小與中心位置成反比；單色光波長與再現像的大小與中心位置成正比；濾光片三基色的透過率不同和半高全寬將分別影響再現像的色彩還原性和分辨率；CMOS三基色的光譜靈敏度不同也是再現像色彩失真的原因之一.基元尺寸和波長的影響用比例系數修正，濾光片與CMOS的影響用權重系數修正，實現了彩色再現像的色彩不失真合成.

傅里葉變換計算全息；博奇編碼；三基色；彩色再現像

1 引 言

計算全息在匹配濾波、波前整形、虛擬物體重構、空間光互連等光信息處理領域中具有廣泛的應用［1－3］.然而，目前卻多采用單色激光束照明，得到的是計算全息圖的單色再現像，這給器件的應用帶來了一些限制，犧牲了不同波長所能攜帶的信息［4］.傅里葉變換計算全息圖是對物波函數傅里葉變換得到的頻譜的振幅和相位進行編碼，生成譜的透射函數作為全息圖，然后利用光學傅里葉特性還原圖像.事實上，在合成傅里葉變換彩色再現像時，各個單色再現像的位置和大小不一致，導致直接合成的再現像分辨率低，并且存在倍率色差［5］.因此，需要建立一種方法來調整單色再現像的位置和大小，從而獲得清晰的再現像.目前常用的方法有3種：第一，分別用三基色光記錄全息圖，在數字再現時對再現像進行調整，使其與波長匹配［3］；第二，根據波長調整全息圖，數字再現則用常規方法合成彩色再現像［2］；第三，再現階段的調整，根據波長對全息圖不同采樣再現［6］.盡管以上方法各具特色，但仍需完善.近年來，空間光調制器（Spatial light modulator，SLM）技術在全息領域中發揮了巨大的作用［7］.本文采用博奇（Burch）編碼方法［8］獲得傅里葉變換計算全息圖，基于空間光調制器用三基色光進行光學再現，研究單色光波長和全息圖基元對光學再現像質的影響，以及濾光片和CMOS性能對再現像質的影響.在此基礎上，基于三基色相加原理，實現了計算全息彩色再現像的不失真合成.

2 實驗原理

2.1 傅里葉變換計算全息圖的記錄

傅里葉變換全息圖的記錄光路如圖1所示.用準直單色平面波垂直照明物體O（xo，yo），經傅里葉變換透鏡L做傅里葉變換后，在透鏡的后焦面上得到O（xo，yo）的頻譜O（x，y）.O（x，y）與一離軸平面參考波R（x，y）在透鏡后焦面上發生干涉后，得到物體的傅里葉變換全息圖.物光波復振幅O（x，y）和離軸的平面參考光波可以分別表示為［9］

式中為載頻系數，α為參考光與光軸的夾角，λ為入射光波長.線性記錄條件下并忽略不重要的常數因子，離軸全息的透過率函數為

在全息圖透過率函數所包含的3項中，第三項通過對余弦型條紋的振幅和相位調制，記錄了物光波的全部信息.第一、二項是均勻的偏置分量，從物光波信息傳遞的角度來說是多余的.博奇編碼以常量為偏置項，使全息圖透過率函數為實值非負函數，其表達式為［7］

式中，A（x，y）為歸一化振幅.只要選取合適的載頻系數a，就可以將物體的±1級衍射像分離.這樣由于每個基元都是實的非負值，因此在制作全息圖時，只需要在每個單元中用開孔大小或灰度等級來表示該實的非負值即可.

圖1 傅里葉變換全息圖記錄光路

用計算機實現傅里葉變換全息圖的流程為：1）輸入待編碼的數字圖像O（xo，yo）；2）對O（xo，yo）進行離散傅里葉變換；3）利用式（3）把離散傅里葉變換譜編碼成全息圖的透過率.

2.2 傅里葉變換全息圖的光學再現

傅里葉變換全息圖光學再現光路如圖2所示.在單色平行光照射下，加載在空間光調制器SLM上的傅里葉變換計算全息圖，經過透鏡L2作逆傅里葉變換，零級像、真實像和共軛像將分別出現在L2的后焦面上，在后焦面放置光電成像器件CMOS記錄各級再現像.

圖2 光學再現光路

圖3（a）為64pixel×64pixel的字母“H”圖像.用Matlab編程，采用博奇編碼方法對其進行編碼，得到計算全息圖3（b），全息圖再經過傅里葉逆變換，得到數字再現像圖3（c）.

圖3 字母H的傅里葉變換計算全息圖和數字再現像

2.3 彩色傅里葉變換全息圖的光學再現

根據色度學中色光的相加原理，彩色圖像總光強為三基色圖像的光強之和，即

式中，IR，IG，IB分別為紅、綠、藍三基色的光強.光學再現光路如圖2所示，用白光照明，用三基色濾光片選擇紅、綠、藍3個通道，分別得到對應的單色再現像.由于再現時的波長和編碼時的基元大小不同，濾光片的透過率和CMOS的光譜靈敏度不同，使得再現像存在色差，分辨率也下降.

3 實 驗

3.1 實驗裝置

實驗光路見圖2.在實驗中，將用博奇編碼的傅里葉變換計算全息圖加載在SLM上（CGI－770101電尋址，大恒新紀元科技股份有限公司），其總像素數為1 024×768，像元大小為26μm× 26μm.采用彩色CMOS接收再現像，其總像素數為1 280×1 024，像元大小為5.2μm× 5.2μm.單色光源為He－Ne激光器（波長為632.8nm），實驗中采用空間濾波器濾波，再用透鏡L1準直，形成均勻平行光束.白光源為亮度均勻且在0～150W之間連續可調的鎢燈，實驗時不需要空間濾波器，只需要L1準直，形成平行光束.三基色濾光片的波長分別為442.4，532.0，635.2nm.CMOS攝像頭與電腦連接，通過控制軟件將CMOS接收到的圖像保存下來.

3.2 改變編碼基元尺寸

所謂基元，就是指若干個像素構成的全息圖基本單位，1個基元中各像素點的值相等，如圖4所示，本文采用正方形基元，并設邊長為b.

為了定量研究編碼過程中基元對再現像大小的影響，首先用單色光進行全息圖的光學再現.實驗光路見圖2，實驗采用的物體為64pixel× 64pixel的字母“H”圖像［圖3（a）］，其傅里葉變換計算全息圖如圖3（b）所示，將全息圖加載到SLM上.分別選擇基元邊長b＝26，52，104，130，156，182μm，記錄再現像.圖5給出基元分別為26，52，104μm的實驗結果.

圖4 博奇編碼全息圖基元

圖5 不同基元大小的再現像實驗結果

3.3 改變光學再現波長

依然采用圖2光路.白光源發出的光通過濾光片后成為準單色光，再經透鏡L1成為平行光，單色平行光照射到SLM上，被調制的光通過傅里葉透鏡L2，就會在其焦平面上再現出物像，經CMOS接收，就得到了單色再現像.通過更換濾光片得到不同波長的再現像.在調節光路時，要使得SLM和CMOS處于透鏡L2的前后焦面上，若以紅光為基準調節光路，則更換藍光或綠光濾光片時，若不調節焦距，圖像會變得模糊；調節焦距后，圖像清晰.

同一幅計算全息圖，用紅、綠、藍三基色光波再現的結果如圖6所示.實驗結果表明，對于不同波長的光，不僅經過透鏡后的成像位置不同，而且成像的幾何尺寸也會隨波長而改變.圖6中紅、綠、藍光波再現像的總像素數分別為618× 702，530×584和420×488.

圖6 不同波長的再現像

4 結果分析與討論

4.1 編碼基元尺寸對再現像的影響

若以再現像橫向尺寸l表征再現像大小，做基元邊長b與l的曲線關系，得到如圖7所示的結果.對測量結果進行擬合，得到函數關系：l＝9.547×103b－1，擬合相關系數約為1.實驗結果表明，再現像大小與基元尺寸成反比.由于再現像的中心位置在l／2處，故再現像的中心位置也與基元尺寸成反比關系.可以依據再現像與基元的關系，在設計計算全息圖時，通過調整全息圖的大小和位置，在光學再現時達到三基色單色再現像的精確重合，合成彩色再現像.

圖7 不同基元對應的再現像橫向尺寸

4.2 波長對再現像的影響

若將三基色分別對應的再現像直接疊加，將得到如圖8（a）所示的彩色再現像，可以明顯看到再現像存在很大色差，圖像模糊.

圖8 再現像實驗結果

分別測量三基色再現像的橫向尺寸l和縱向尺寸h，測量結果見表1.結果表明，在其他條件不變的情況下，再現像的大小與波長成正比，波長越長，再現像越大，中心位置偏離零級越遠.若將單色再現像乘上一個系數，可使得不同波長的單色再現像大小一致.具體方法是：假設紅光再現像大小一定，綠光再現像乘以比例系數1.20，藍光再現像乘以比例系數1.43，然后再進行疊加.此時得到的再現像如圖8（b）所示，可以看到再現像的色差有所減小，分辨率也有所提高.

表1 三基色再現像的尺寸與波長的關系

大多數文獻也只是考慮到了波長這一影響因素［10－11］，但是，光電成像器件（CMOS或CCD）的光譜靈敏度少有人考慮［3］.若采用白光源再現，濾光片性能的影響也應考慮.

4.3 濾光片和CMOS對再現像的影響

實驗中使用的三基色濾光片的透過率曲線如圖9所示，可見，三基色濾光片的透過峰都有一定的寬度，它們的相對半高全寬分別為1.5%，2.1%和2.5%，半高全寬的存在將降低再現像的清晰度.另外，三基色的峰值透過率不同，即輸出光強在不同的波長處不同，這是再現像存在色差的原因之一.因此需要修正，具體辦法是以紅光為基準進行歸一化，則綠光和藍光的再現像分別乘以強度權重系數1.17和1.23.

圖9 三基色濾光片的透過率曲線

實驗中所采用的彩色CMOS，其光譜靈敏度響應曲線如圖10所示.在相同的輻照度下，波長為635.2nm，532.0nm，442.4nm處的輸出信號分別為輸入信號的47%，51%，39%，對不同波長表現出靈敏度不同，這是導致再現像存在色差的另一個原因.因此也需要修正，具體辦法是以綠光為基準進行歸一化，則紅光和藍光的再現像分別乘以感光權重系數1.09和1.31.

圖10 CMOS光譜靈敏度曲線

對圖8（b）合成前的紅、綠、藍3幅圖像再分別乘以系數1.09，1.17，1.23×1.31進行修正，得到圖8（c）.由于再現像右側靠近零級，故圖像中右側光強較強.由于濾光片透過率具有一定的寬度，因此，再現像的邊緣比較模糊.

4.4 一般彩色物體再現像

根據三基色原理，自然界的任意一種顏色都可以由紅、藍、綠3種顏色合成得到，若原始圖像為如圖11（a）所示的紫色字母“H”，采用如圖2所示的光路，考慮到編碼基元大小、再現時所用波長、濾光片的透過率和CMOS的光譜響應這4個因素的影響，用數字圖像處理技術，按照上面所述的辦法對再現像進行修正，可以得到如圖11（b）所示的再現像.原始圖像和再現像的紅、綠、藍三基色的灰度分別為220，25，180和222，28，180，因此，在考慮了多種因素之后，經過修正處理的再現像與原始圖像色彩基本不失真.

圖11 原始圖像和合成的彩色再現像

5 結 論

通過對影響再現像分辨率和色彩還原性的因素進行分析，得到以下結論：基元尺寸與再現像的大小與中心位置成反比；單色光波長與再現像的大小與中心位置成正比；濾光片三基色的透過率不同影響再現像的色彩還原性，半高全寬影響分辨率；CMOS三基色的光譜靈敏度不同影響再現像的色彩還原性.提出修正的方法，即基元尺寸和波長的影響用比例系數修正，濾光片與CMOS的影響用權重系數修正.對再現像進行修正以后，彩色再現像基本不失真.若采用三基色激光再現，彩色再現像的分辨率會得到增強.

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Color reconstructed image of Fourier computer－generated hologram

SUN Pinga，b，WANG Zhonga，b，LUO Yu－hana，b，WEI Yi－wena，b
（a.Department of Physics；b.Beijing Area Major Laboratory of Applied Optics，Beijing Normal University，Beijing 100875，China）

The Fourier computer－generated holograms loaded on a spatial light modulator were optically reconstructed.The hologram was encoded with the method of Burch encoding.The factors affecting color reconstructed image of Fourier computer－generated hologram，such as resolution and color reproduction were analyzed.Experimental results showed that the cell size was inversely proportional to the size and central location of the reconstructed images；monochromatic wavelength was proportional to the size and central location of the reconstructed image；the transmittance and half－width of trichromatic filters affected the color reproduction and resolution；spectral sensitivity of CMOS was one of the reasons causing chromatic aberration.The influences of cell size and the wavelength could be eliminated using proportional coefficient and those of filters and CMOS could be eliminated using weight coefficient.The synthesis of the color reconstructed images without distortion was realized using the correction method in this paper.

Fourier computer－generated hologram；Burch encoding；trichromatism；color reconstructed image

O436

A

1005－4642（2012）10－0001－05

［責任編輯：任德香］

“第7屆全國高等學校物理實驗教學研討會”論文

2012－05－29；修改日期：2012－06－20

北京自然科學基金項目（No.4102031）；北京市大學生科學研究與創業行動計劃項目資助

孫 萍（1963－），女，吉林懷德人，北京師范大學物理系高級工程師，博士，研究方向為信息光學.